No.3ベストアンサー
- 回答日時:
着目したほうが1回目の整数部分がきれいになるから
(i)1を分けた場合
{(√2+√3)+1}{(√2+√3)-1}
=5+2√6-1=4+2√6
これを有理化するのに4-2√6(もしくは2-√6)をかける
(ii)√2を分けた場合
{(1+√3)+√2}{(1+√3)-√2}
=4+2√3-2=2+2√3
これを有理化するのに2-2√3(もしくは1-√3)をかける
(iii)√3を分けた場合
{(1+√2)+√3}{(1+√2)-√3}
=3+2√2-3=2√2
これを有理化するのに√2をかける
どれでも解けます。
答えがでれば、最初に(√2+2-√6)をかければよいことがわかるけど
※1回目と2回目で有理化した積
これを最初に思いつくには無理があります。
No.2
- 回答日時:
赤線に着目しないでいいです。
分母を有理化するにあたって、そんな関係は必要ありません。
一般に 1/(√a + √b + √c) に対して、
(3)の 1/(√3 + 1) の分母の √3 が
1/(√3 + 1) =(√3 - 1)/{ (√3 + 1)(√3 - 1) } = (√3 + 1)/{ 3 - 1 }
で消えたように
1/(√a + √b + √c) = (√a + √b - √c)/{ (√a + √b + √c)(√a + √b - √c) }
= (√a + √b - √c)/{ (√a + √b)^2 - c) }
= (√a + √b - √c)/{ (a + b - c)^2 + 2√(ab) }
とすれば、分母の √ が 1 個になって 1/(√3 + 1) と似た形になります。
そこでもう一度「分母の有理化」をすれば、分母に √ は無くなります。
(4)の例では、a = 1, b = 2, c = 3 であるために a + b - c = 0 であり、
1/{ (a + b - c)^2 + 2√(ab) } が(3)ではなく(1)のパターンになって
多少計算が楽になるのですが、そんな関係に依存しなくても
1/{ (a + b - c)^2 + 2√(ab) } = { (a + b - c)^2 - 2√(ab) }/{ { (a + b - c)^2 + 2√(ab) }{ (a + b - c)^2 - 2√(ab) } }
= { (a + b - c)^2 - 2√(ab) }/{ (a + b - c)^4 - 4ab }
とすれば済むことです。
実際、1/(1 + √2 + √3) = (- 1 + √2 + √3)/{ (1 + √2 + √3)(- 1 + √2 + √3) }
= (- 1 + √2 + √3)/{ - 1 + (√2 + √3)^2 }
= (- 1 + √2 + √3)/{ (- 1 + 2 + 3) + 2√6 }
= (- 1 + √2 + √3)(4 - 2√6)/{ (4 + 2√6)(4 - 2√6) }
= (- 1 + √2 + √3)(4 - 2√6)/{ 16 - 24 }
でも、手間は大して違いません。
組み分けで悩んでいる間に、とっとと計算を済ませてしまいましょう。
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