青チャート例題23-(4)の問題で 写真の赤ペンで囲っているところなんですが なぜそこに着目するので

青チャート例題23-(4)の問題で
写真の赤ペンで囲っているところなんですが
なぜそこに着目するのですか？
下の練習問題にも数字が違う似た問題があるのですが
どういう基準で分母が3つの数を１つと２つに分けるのかがわかりません

No.3 ベストアンサー 回答者： タマ時雨 回答日時： 2020/05/01 09:29

着目したほうが1回目の整数部分がきれいになるから

(i)1を分けた場合
{(√2+√3)＋1}{(√2+√3)-1}
=5+2√6-1=4+2√6
これを有理化するのに4-2√6(もしくは2-√6)をかける

(ii)√2を分けた場合
{(1+√3)＋√2}{(1+√3)-√2}
=4+2√3-2=2+2√3
これを有理化するのに2-2√3(もしくは1-√3)をかける

(iii)√3を分けた場合
{(1+√2)＋√3}{(1+√2)-√3}
=3+2√2-3=2√2
これを有理化するのに√2をかける

どれでも解けます。

答えがでれば、最初に(√2+2-√6)をかければよいことがわかるけど
※1回目と2回目で有理化した積
これを最初に思いつくには無理があります。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2020/05/01 09:50

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/01 09:20

赤線に着目しないでいいです。

分母を有理化するにあたって、そんな関係は必要ありません。
一般に 1/(√a + √b + √c) に対して、
(3)の 1/(√3 + 1) の分母の √3 が
1/(√3 + 1) =(√3 - 1)/{ (√3 + 1)(√3 - 1) } = (√3 + 1)/{ 3 - 1 }
で消えたように
1/(√a + √b + √c) = (√a + √b - √c)/{ (√a + √b + √c)(√a + √b - √c) }
= (√a + √b - √c)/{ (√a + √b)^2 - c) }
= (√a + √b - √c)/{ (a + b - c)^2 + 2√(ab) }
とすれば、分母の √ が 1 個になって 1/(√3 + 1) と似た形になります。
そこでもう一度「分母の有理化」をすれば、分母に √ は無くなります。

(4)の例では、a = 1, b = 2, c = 3 であるために a + b - c = 0 であり、
1/{ (a + b - c)^2 + 2√(ab) } が(3)ではなく(1)のパターンになって
多少計算が楽になるのですが、そんな関係に依存しなくても
1/{ (a + b - c)^2 + 2√(ab) } = { (a + b - c)^2 - 2√(ab) }/{ { (a + b - c)^2 + 2√(ab) }{ (a + b - c)^2 - 2√(ab) } }
= { (a + b - c)^2 - 2√(ab) }/{ (a + b - c)^4 - 4ab }
とすれば済むことです。

実際、1/(1 + √2 + √3) = (- 1 + √2 + √3)/{ (1 + √2 + √3)(- 1 + √2 + √3) }
= (- 1 + √2 + √3)/{ - 1 + (√2 + √3)^2 }
= (- 1 + √2 + √3)/{ (- 1 + 2 + 3) + 2√6 }
= (- 1 + √2 + √3)(4 - 2√6)/{ (4 + 2√6)(4 - 2√6) }
= (- 1 + √2 + √3)(4 - 2√6)/{ 16 - 24 }
でも、手間は大して違いません。
組み分けで悩んでいる間に、とっとと計算を済ませてしまいましょう。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2020/05/01 09:49

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/05/01 05:43

a+b=c

であれば

(√a+√b+√c)(√a+√b-√c)
=(√a+√b)^2-c
=a+2√(ab)+b-c
=2√(ab)

(√a+√b+√c)(√a+√b-√c)=2√(ab)
とできるから

a+b=c
に着目する

1+2=3
だから

(1+√2+√3)(1+√2-√3)
=(1+√2)^2-3
=1+2√2+2-3
=2√2

(1+√2+√3)(1+√2-√3)=2√2
とできるから

1+2=3
に着目する

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2020/05/01 09:19