［n角形の対角線の交点の総数はn×（n-1）×（n-2）×（n-3）/24 と計算されます。］ 半径

［n角形の対角線の交点の総数はn×（n-1）×（n-2）×（n-3）/24 と計算されます。］

半径1の円に内接する正n角形を考えて、全対角線を取り、交点を面積0の点として、n→∞の極限を取って、円の内側の面積を稠密に埋め尽くす点の集合として考えた場合、どのように点の面積を扱えばπになりますか。

4角形の対角線の交点が1つであることと、一般に対角線の交点の総数がnの4次式であることが、基本的に関係がある可能性はありますか。

また、nを割らないpが（巡回群を考えることで）、全ての対角線を一筆書きで繋げるための条件を与えると思いますが、例えば、6角形の6芒星対角線の対称的な交点の分布と、8角形で3辺置きに対角線を取っていった一筆書きの交点の分布の座標は、素数の性質をよく反映しそうだと思います。

n→∞ と極限を取ったときに、それらの点座標の分布を分類することはできますか？

No.2 ベストアンサー 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/05/02 09:47

ユニークな発想ではあるけど、多角形の対角線の数だけでは面積を算出できない。

そもそも、異なる位置にある点の平面座標が3つ以上ないと面積を算出できない。

多角形の面積を求めるには、結局のところ頂点（対角線でいえば始点と終点）の座標が必要。
対角線の始点と終点を無視して、対角線の交点だけをいくら集めても多角形の面積にはならない。

この回答へのお礼

ご教授ありがとう御座います。
面積の定義からアプローチに無理があったのですね。

点の近傍を回る経路積分で何とかならないかな、と思っていたのですが、ご指摘の通り、それではその「面積」が重なりあってしまいます。

交点座標の数値族を集めると少しの情報が得られそうですが、それだけではあまり意味なさそうで、球で考えるとかしないと。

p|N のみからなる対角線の交点座標の集合を位相空間にするとかですかね...

いつかまた進んだときに考えるかもしれません。

お礼日時：2020/05/02 10:10

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/02 09:30

n角形の対角線の交点の総数は、nＣ4 個です。

Ｃ を展開すると、一行目の式になりますね。
nＣ4 個になる理由は、おっしゃるとおり
交点の数は2本の対角線の選び方と一対一に対応しているからです。

交点数を面積に結びつけるのは面白いアイディアですが、
どうでしょうね？
交点が円内に一様に分布しないと、面積の計算に使うのは
難しいように思いますが。

この回答へのお礼

面積は点が一様に分布しないと難しいとのご指摘、ありがとうございます。
それもその通りで、見落としていました。
nが有限では殆ど役に立たなさそうです。

面積を求めようというより、無限和がπになることが分かっていることを使おうとしてまして、幾つかの点の分布を約数で場合分けすると、それぞれが全体に比べて比較的一様になる気がしています。少ないnでは円周と中心の真ん中辺りに点が多いような気がします。nを大きくしても、外側は希薄そうですね。単純には行かないですが、そもそも素数について（視覚的に）何とかしようとしてるので、当然と言えば当然ですよね。

お礼日時：2020/05/02 09:50