双子のパラドックス

相対性理論の説明等でよく双子のパラドックスの話が出てきますが、運動する物体の時間の進みの遅れの仕組み等はなんとなく理解できますが、
１．なぜ老化まで遅くなるのかよくわかりません。時計の進みが遅くなっても宇宙から帰ってきたときに双子の弟に出会うということは同じ時間（？）老化するはずではないのでしょうか。
また、
２．光の反射を使った時計を使った時間の遅れの例がよくありますが、例えば絶対に狂わないデジタル時計を宇宙に持っていって帰ってきたらどうなるのですか。教えてください。

No.5 ベストアンサー 回答者： Naoki_M 回答日時： 2005/01/12 00:39

1.正確な時計を２つ用意します。

弟と１つの時計は地球に残り、兄ともう１つの時計は宇宙船に乗ります。兄の乗った宇宙船は地球を出発して帰ってくるとします。

　ここで、兄が宇宙船の中の時計を見るとちょうど１年経っていたとします。このとき、兄は何歳だけ歳をとったと考えればいいでしょうか（今は地球のことや弟のことは考えなくていいです）。兄はちょうど１歳だけ歳をとったと考えるのが自然です。そうでなければ、兄の老化が宇宙船内の時計よりも早くなったり遅くなったりしている、ということですから、おかしくなってしまいます。

　つまり、　兄の老化のしかた＝宇宙船内の時計の進み方　が成り立っているということです。
同様に、　弟の老化のしかた＝地球の時計の進み方　も成り立っています。

　さて、兄が地球に戻ってきたとします。ここで注意しなければいけないのが、相対論では
宇宙船内の時計の進み方≠地球の時計の進み方　である、ということです（この部分が一番のポイントですが、長くなるので省略します。詳しくは参考URLなどをご覧ください）。
　したがって、兄の老化のしかた≠弟の老化のしかた　となります。

2.地球にある時計と宇宙船に乗せた時計の時刻はずれます。どちらの時計も狂っていません。ただし、実際にどれだけずれるかを計算するには、時計の運動による効果だけでなく、重力による効果も考える必要があります（これは一般相対論の内容です）。

　ちなみに、わざわざ宇宙まで持って行かなくても、高層ビルの屋上に置いた時計と地下に置いた時計を比べれば時刻がずれることがわかります（極々僅かですが）。

参考URL：http://homepage1.nifty.com/tac-lab/special-relat …

No.4 回答者： igarasik0 回答日時： 2005/01/11 22:40

２についてですが、何年前だか忘れましたがＮＨＫで似たような実験をやっていました。

２つの原子時計の時刻を合わせて、一つを日本に置いておき、もう一つをジェット機旅客機で日本とイギリスを往復させるというものです。
往復させた方が日本に置いていたものより微妙（1/10000秒より少なかったと思う）に遅れていました。
「宇宙に持っていって」というのが、これを速度や距離を大きくした実験を行うという意味なら、この誤差がかなり大きなものになるでしょう。

No.3 回答者： cozycube1 回答日時： 2005/01/11 22:23

　双子の兄弟がいて、兄が地球に残り、弟が亜光速で遠い星まで行って帰ってきたら、どちらが歳をとっているかという有名なパラドクスがあります。

　相対速度があるなら、互いに時間が遅れているはずだから、兄は弟のほうが若いはずだと言い、弟は兄の時間の流れが遅くなっていたから兄が若いはずだと言う、といいものです。

　まず、「双子のパラドックス」を考えるためのモデルを設定しましょう。
　宇宙船が地球とX星を往復するとします。地球とX星は同じ慣性系にあり、それぞれその系で時刻合わせをした時計を持っています。
　宇宙船は地球時刻０でいきなり光速の87%(長さや時間が半分になる速さです ^^;)で出発し、X星でいきなりUターンして地球に帰ってきます。
　この間、宇宙船は常に光速の87%で飛ぶものとします（＝光速の√(3/4)で、ローレンツ収縮、時間の流れの速さが半分になる数字です）。
　また出発時、宇宙船の時計は時刻０を指しているとします。

　　　[宇宙船＞－→・・・・・・・［宇宙船＞
　　地球 ○－－－－－20光年－－－－－● X星
　　 ＜宇宙船］・・・・・・・←－＜宇宙船]

■「双子のパラドクス」
　さて、宇宙船にしてみれば、ローレンツ短縮により地球－X星間は10光年になります。
　そして、飛行時間は宇宙船の時計では片道は、10光年を87%で割って11.5年。
　また地球やX星の時間の流れは、宇宙船からみれば半分の速さになっています。ですので、地球－X星では、さらに時間の経過が半分しかなくて、5.75年です。
　宇宙船を基準にして図を書き直してみます。

　(往)地球 ○→→→→→→→→→→→→→● X星　・到着
　　　　[宇宙船＞－－－10光年－－－＜宇宙船］　　宇宙船では11.5年後
　(復)地球 ○←←←←←←←←←←←←←● X星　　地球-X星では23年後

■ まずは、X星に行きます（X星が来る）
　地球－X星からすれば、宇宙船がX星にたどり着くには光速の87%だから「23.0
年」、宇宙船内の時間ではその半分の、「11.5年」です。
　ところで宇宙船にとって、地球の時刻はX星の時刻に対してどれくらい遅れているでしょうか？
　前に出した時刻の遅れの式をもう一回出して計算してみます。ここからは計算が面倒にならないよう、光速度をつかい、光年／年を使います。1年で1光年進むスピードですね。

　　　　　　vL0/c^2　　　　　0.87 * 20 / 1^2
　Δt = ---------------- = ------------------- = 34.8 (年)
　　　　√(1 - (v/c)^2)　　　　0.5
　　（v:相対速度、L0:地球にとっての距離）

　ここで、宇宙船の時計と星の時計の時刻差をくらべるには時間の流れが遅れていて半分の速さであることを考慮します。時刻をX星の時計でみることにしましょう。
　同時刻の相対性と時間の流れの遅れが効いてきます。こう、考えてください。

「宇宙船からみると、X星の時計は地球のより34.8年進んでいる。これを、時刻０で時計がスタートしたと見直してみると、X星の時計は34.8年先に動き出す。
　さらに時間の流れが半分の速さになっているから、X星の時計は地球のより17.4年進んでいるのだ！」

　すると単純な足し算で、17.4 + 5.75 = 23.15 年になります。地球－星で見ていると、20光年の87%で23.0年です。誤差がありますが、小数点第2位以下を無視したための計算誤差で、厳密にすると実は数字は合います。
　つまり、異なる慣性系の同時刻の差を考慮すると、地球－X星と宇宙船の所要時間は、ぴったり合います。

■ 地球に帰ると
　上の話と全く同じになるのです。ただし、今度は地球の時刻がX星の時刻より進ん
でいます。

■ 上の結果を考えて往復でどうなるか
　宇宙船の往復の時間は、地球－X星時間で46年です。地球の方が宇宙船より「偉い」、つまり宇宙船が一方的に時間が遅れるなら、往復は宇宙船の時間で23年です。
　本当に地球は「偉い」のか？

　１）X星へ向かう宇宙船はX星が地球より時刻が進んでいる慣性系にいる。
　２）地球に引き返す宇宙船は、逆に地球が時刻が進んでいる慣性系にいる。

　宇宙船は、この１）と２）を使って往復しています。
　つまり、Ｕターンするとき時刻合わせの条件が一変するため、Ｕターンの瞬間に時間が「23年分、飛んでしまい」、結局宇宙船の時間が遅れてしまうのです。

■ とりあえず、まとめ
　二つの慣性系が互いを見ると、完全に相対的である。だが、もし一方の慣性系が別の慣性系へ「変化」するなら、その瞬間に「相対性」は崩れ去る。ただ、相対性が崩れるのは「変化する瞬間」だけである。

No.2 回答者： cozycube1 回答日時： 2005/01/11 22:19

１）時間の遅れ

　宇宙船が鏡の側を飛んでいるとします。

　　　鏡 ＿＿Ｃ＿　
　　　　 　／｜＼　
　　　　 光　｜ 光　
　　　 ／　　｜　 ＼
　　　Ａ→→ Ｂ →→Ｄ

　宇宙船はＡで鏡に宇宙船から見て垂直に光を発します。この光は宇宙船内では鏡に反射して垂直に返ってきます。外から見ていると光は斜めに進み宇宙船に戻ります。
　宇宙船の速度をｖ、光速度をｃ、宇宙船で見た光の往復時間をＴ、外から見た光の往復時間をｔだとします。
　あとは単純な幾何学の問題です。三角形ＡＢＣ（と三角形ＣＢＤ）は直角三角形ですからピタゴラスの定理より、

　　ＡＣ^2=ＡＢ^2＋ＢＣ^2

となり、ここで、ＡＣ＝ct/2, ＡＢ＝vt/2, ＢＣ＝cT/2 であることを代入して、

　　(ct)^2/4 = (vt)^2/4 + (cT)^2/4

　あとは順にt,Tを両辺に移動して整理していくと、

　　Ｔ = ｔ√(1-(v/c)^2) ---(1)

という関係になります。
　宇宙船が光速度に近い速度になると宇宙船の時間は（外から見て）ゆっくりになります。もちろん立場を変えて宇宙船から外をみたときは外がゆっくりだ、ということになります。

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
２）長さの収縮

　以下のように、宇宙船が速度ｖで地球からＸ星に向かって飛んでいるとします。

　　　｜←－－L(宇宙船にとっての距離)-－－→｜
　地球○－－－－　［宇宙船＞ｖ→　－－－－→●Ｘ星
　　　｜←－－ L0（地球にとっての距離）-－→｜

　宇宙船にとっての地球－Ｘ星間距離 L と地球からみたＸ星までの距離 L0は同じであるかどうか不明ですので、違う記号を用いています。同様に、時間についても、宇宙船がＸ星につくまでの時間が「地球から見て t0」、「宇宙船の時間で t」だとします。
　すると、地球－Ｘ星間の距離はそれぞれの立場で、
　　　宇宙船の立場：L = vt　　　地球の立場：L0 = vt0
となります。すると、

　L = L0*t / t0

となります。これに先の、時間短縮の式(1)を入れて計算してみると、

　L = L0√(1 - (v/c)^2) ---(2)

ということになります。
　これは、アインシュタイン以前に、オランダのローレンツやイギリスのフィッツジェラルドがそれぞれ独自に提案した式と同じなので、ローレンツ・フィッツジェラルド収縮、またはローレンツ収縮と呼ばれます。

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
３）同時刻の相対性
　外からみて速度Vで進む列車の中央にＡ、両端にＢＣ、外にＤがいるとします。今、Ａから光を発し、その光が届いた瞬間にＢＣが時計を合わせるとします。例によって光速度をcとします。

　＋－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－＋
　｜ ←－－L0/2－－→←－－L0/2－－→　　　　 ｜
　｜Ｂ　　 Ｂ'　　 Ａ　　　　　　　Ｃ　　 Ｃ'｜　－V→
　｜｜　　　｜　　　｜　　　　　　　｜　　 ｜ ｜
　＋－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－＋
　 　←VTa→←-cTa-→　　　　　　　 ｜　　 ｜
　　 ←－－ L/2－－→←－－L/2 －－→←VTb→
　　　　　　　　　　Ｄ

　さて、列車の中央のＡから光を発射します。列車内のＡＢＣにとっては列車の端にいるＢＣには同時に光が届き、外から眺めているＤにとっては先にＢ、後でＣに光
が届きます。
　ＤからみてＡＢ、ＢＣ間の距離がL/2（ＢＣ間がL）とすると、例のローレンツ短縮で考えて、ＡＢＣにとって、ＡＢ、ＢＣ間はそれより長く、これをL0/2（つまりＢＣ間はL0）と置きます。
　ＡからＢまでの光の届く時間をTa、ＡからＣのをTbとします。上図より、列車の速度と光速度を合わせて考えると、

　VTa + cTa = L/2　∴　Ta = L/2(c+V)
　cTb = L/2 + vTb　∴　Tb = L/(c-V)

となります。よって、時間差Δtは、

　Δt = Tb-Ta = L/2(c+V) - L/(c-V)
　　　= 2VL/(c^2 - V^2)

となります。ここで、例のローレンツ収縮の式(2)を代入すると、
　　　　　　
　　　　2vL0√(1 - (v/c)^2)
　Δt= ----------------------
　　　　2(c^2)*(1 - (v/c)^2)

　　　　　　vL0/c^2
　　　= ------------------　　　---(3)
　　　　　√(1 - (v/c)^2)
となります。
　列車の中で離れて置かれたぴったり同時刻の時計は外から見ると、これだけ先頭側が遅れることになるわけです。
　また、上式(3)から分かる通り、L0が大きいほど、つまり距離が大きいほど時刻差が大きくなる点に注意してください。
　つまり外からの観測では、走る列車では、列車最後尾から先頭側にかけて、連続的に時刻が過去になっていっており、その過去の時刻は最後尾からの距離に比例するわけです。

No.1 回答者： unicker 回答日時： 2005/01/11 20:19

１についてですけど一旦出発して帰って来るにはUターンしなければなりません、ということは行きと帰りの座標が必要なわけで弟と同じ座標で過ごしているわけではないので時間の進み方遅れ方も違ってきます。