後半部分の証明がわかりません。 どなたかおねがいします…

後半部分の証明がわかりません。
どなたかおねがいします…

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2020/05/22 17:52

一般に

Cｐ-Cv＝T･-[(ðV/ðT)p｣²/[(ðV/ðP)T｣がなりたつので（･は積の意味）
上で求めた状態式から出てきます。

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/05/22 22:38

表記の関係で一定を示す変数は T,V → t,v とする。

マクスウェルの関係式
(∂S/∂p)t=-(∂V/∂T)p・・・・・①
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%82%AF …

δQ=TdS=CvdT+T(∂S/∂V)t dV・・・・・②
δQ=TdS=CpdT+T(∂S/∂p)t dp・・・・・③

1.
➂①から
δQ=TdS=CpdT-T(∂V/∂T)p dp・・・・・・・・・・④
となり、
V=V₀{1+β(T-T₀)-k(p-p₀)}・・・・・・⑤
を入れると
dS=Cp(dT/T)-V₀βdp=d(Cp logT-V₀βp)
積分して
S-S₀=Cp log(T/T₀)-V₀β(p-p₀)・・・・・⑥
を得る。

2.
p=p(T,V)により
dp=(∂p/∂T)v dT+(∂p/∂V)t dV
となり、④にいれると
δQ=TdS=CpdT-T(∂V/∂T)p { (∂p/∂T)v dT+(∂p/∂V)t dV }
　　　　={Cp-T(∂V/∂T)p(∂p/∂T)v} dT+T(∂V/∂T)p(∂p/∂V)t dV
となる。

dSは完全微分なので、この式と②のdTの係数は同じとなるから
Cv=Cp-T(∂V/∂T)p (∂p/∂T)v=Cp-TβV(∂p/∂T)v・・・・⑦
を得る。

つぎに、V=V(p,T) により
dV=(∂V/∂p)t dp+(∂V/∂T)p dT=V(-kdp+βdT)
となるが、体積一定（dV=0）のとき、この式は　(∂p/∂T)v=β/k　となり、これを➆に入れると

Cv=Cp-TβVβ/k=Cp-VTβ²/k・・・・・⑧
となる。ここで、⑤を使うと

Vβ=(∂V/∂T)p=V₀β、Vk=-(∂V/∂p)t=V₀k
となるので、⑧は
Cv=Cp-VTβ²/k=Cp-T(Vβ)²/(Vk)=Cp-T(V₀β)²/(V₀k)=Cp-V₀Tβ²/k
を得る。