y^(5)+y^(4)+4*y"'+4*y"+4*y'+4y=0ってどう解くんですか？

y^(5)+y^(4)+4*y"'+4*y"+4*y'+4y=0ってどう解くんですか？

t=-1,±√2i

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/25 01:56

基本どおり、型通り。

定係数斉次線型方程式ですから、
特性方程式を解くだけです。

y^(5) + y^(4) + 4y"' + 4y" + 4y' + 4y = 0
の特性方程式は
λ^5 + λ^4 + 4λ^3 + 4λ^2 + 4λ + 4 = 0.
5次方程式なので、一瞬びびりますが、
λ = -1 がすぐに見つかるので、意外と簡単に因数分解できて
(λ + 1)(y^2 + 2)^2 = 0.
λ = -1 が単根、λ = ±i√2 がそれぞれ2重根です。

これらの特性解に対応して、ひと組の基本解
y = e^(-x), e^(i√2x), xe^(i√2x), e^(-i√2x), xe^(-i√2x)
が見つかります。一般解は、これらの一次結合
y = Ae^(-x) + (B+Cx)e^(i√2x) + (D+Ex)e^(-i√2x).
A,B,C,D,E は定数です。

ああ、唐突に t=-1,±√2i と書いてあったのは、
特性根を教えてくれてたんですね。何かと思った。
ともかく、やり方を知ってますか？というだけの例題です。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/05/25 08:16

y^(5) って y''''' の略？

であるなら、定係数の線形方程式は誰でも解ける手順が確立してます。
①特性方程式をとく
②一階のベクトル微分方程式に変換、対角化して
n個の―階の微分方程式に分解する
③ラプラス変換で解く。

個人的には③が楽だと思います。
工学用の電卓で③をシンボリックに
解いてくれるものが結構有ります。