物理について質問させていただきます。 同一鉛直線上にある小物体 A と B の運動について。時刻t

物理について質問させていただきます。

同一鉛直線上にある小物体 A と B の運動について。時刻t = 0においてAをx＝hから静かに放し、同時にBを地面(x= 0) から真上に速さv(0)投げ上げた。その後、AとBは空中で衝突した。重力加速度の大きさはgとする。 B が地面に戻る前に衝突するためのv(0)の条件を求めよ。

という問題です。解答はシンプルで、(衝突した時の位置x) ＞ 0 となってました。何故この式になるのでしょうか？そもそも、衝突した時の位置xは０より下はありません。問題文にそう定義されてます。また他のやり方でもできそうな気がするんんですが、他の解法があれば教えてください。

(衝突した時の位置x) ＞ 0 になる理由、そして他の解法があれば、の2点解答していただければと思います。よろしくお願いします‼︎

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/05/30 19:48

>解答はシンプルで、(衝突した時の位置x) ＞ 0 となってました。

衝突地点を計算して、それが地面か地面の下なら
地面に戻る前に衝突しなかった
ということです。

衝突迄の時間は

T=h/v(0)
衝突位置は
x=h-(1/2)gT^2=h-(1/2)g{h/v(0)}^2

x>0 が衝突する条件だから

h>(1/2)g{h/v(0)}^2
v(0)^2>(1/2)gh
v(0)>√(gh/2)

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2020/05/30 13:03

＞(衝突した時の位置x) ＞ 0 になる理由

「理由」ではなく、それが「衝突するための条件」です。
「衝突したときの位置」が x≦0 あるいは「x に解なし」だったら、それは「衝突しない」ということですから。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/05/30 12:20

この問題では鉛直線をx軸（鉛直上向きを正）として、x=0を地面だとしていますが、

本来鉛直線は直線なのでプラス方向にもマイナス方向にも無限にどこまでも続いているものです
そこで、模範解答はx=0が地面だということを一旦棚上げにして、ｘ軸は上下どこまでも無限に続いているものとして考えを進めています

そうすると、Voの値によってはxがマイナスの数値で求まることもあり得ます
この段階まで来た時点で地面の事を思い出しています！
x=0で地面到達なのだから　x=マイナスの数値　が求まればそれは地下ということになり起こりえないことです
ゆえに、求まるｘのうちマイナスのものは地上でないので矛盾
矛盾がないのは、(衝突した時の位置x) ＞ 0　ということなのです

別解法
1例として　下向きを正としてBが地面に戻ってきた瞬間の速度Voだから
等加速度運動の公式から、Bが地面に戻ってくるまでの時間Tは
Vo=-Vo+gT
⇔T=2Vo/g
この時刻を超えない範囲で２物体が衝突する条件を考えます
時刻tにおけるAの落下距離は
落下距離=(1/2)gt² (自由落下の公式または等加速度運動の公式で下向き正として立式）
ｔにおける　Bの高さは
高さ=Vot-(1/2)gt²　（上向きを正）
落下距離+高さ＝ｈとなるとき衝突だから
(1/2)gt²+Vot-(1/2)gt²=Vot=h
⇔t=h/Vo・・・衝突時刻

先ほど求めたように時刻が2Vo/gを超えるとBが地面に戻ってきたときの時刻を超えてしまうから
t=h/Vo<2Vo/g　でないといけない！
hg/2<Vo²
√(hg/2)<Voなんて求めることもできそうです（計算ミス等あれば直しておいてください）