楕円はいくつの点でひとつに決まる？

Question

直線は二つの点で、一意的に定まります。円は三つの点で、一意的に定まります。ということはきいたことがあるのですが、それでは、楕円はいくつの点で一意的に定まるのでしょうか？

springside · Accepted Answer

以下のページにいろいろ解説がありますので、ご覧になるといいと思います。

http://www.altair-aquilae.com/Library/MathEssay01.html

http://www.altair-aquilae.com/Library/MathEssay02.html

参考URL：http://www.altair-aquilae.com/Library/MathEssay01.html

ranx · Answer

すでに回答は出ていますが、別の観点からお答えします。

円錐曲線上の６点について、「パスカルの定理」と呼ばれる
関係が知られています。
６点をＡ・Ｂ・Ｃ・Ｄ・Ｅ・Ｆとすると、直線ＡＢと直線ＤＥ、
直線ＢＣと直線ＥＦ、直線ＣＤと直線ＦＡの各交点は一直線上に
あります。
ここで、Ａ～Ｅを固定し、Ｆが分からないものとしましょう。
この場合、上に挙げた３つの交点のうち、ＡＢとＤＥの交点は
すでに定まっています。この点を通る任意の直線を引くと、
他の２つの交点が決まりますから、それらから点Ｆを作図する
ことができます。
つまり、５つの点が決まれば、それらを通る二次曲線は一意に
決まるのです。

ところで、二次曲線は楕円だけではありません。５点の位置関係に
よっては、それらを通る二次曲線が放物線・双曲線として決まって
しまう場合もあるわけです。

以上、非常に大雑把な説明です。ユークリッド平面上では、
二直線の交点は無い場合もありますから、そうした場合も考慮
すれば、もう少し精緻な説明になります。

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%91%E3%82%B9%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86

denebola · Answer

なんだか、ごちゃごちゃしてますので、憚りながら解説を。
・楕円の形状は２つのパラメータで決まります。
　　x^2/a^2+y^2/b^2=1　（a,b：楕円の短径・長径）
・楕円の中心は(xo,yo：中心の座標)２つのパラメータで決まります。
・楕円の傾きは長軸の角度θ、１つのパラメータで決まります。
したがって、パラメータ５つが必要なので、点の数も５つになります。５パラメータに５つの点が必要なのは、５パラメータを確定するには５つの条件式が必要だからです。

springside · Answer

一般には、５つの通過点で一意的に定まります。

もちろん特別な状態の楕円であれば、もっと少ない数の点で定まります。

(1)中心が原点で、長軸と短軸がx軸、y軸に平行な場合
式は、
　x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
となり、未知数は２つですから、２点でＯＫ。

(2)長軸と短軸がx軸、y軸に平行な場合
式は、
　(x-p)^2/a^2 + (y-q)^2/b^2 =1
　（注：楕円の中心を(p,q)とおいた）
なので、未知数は４つですから、４点でＯＫ。

(3)一般の場合
式は、
　ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + 1 = 0
となり、未知数は５つ（a,b,c,d,e）なので、５点が必要。
　（注：未知数の数をわかりやすくするため、定数項を1にしました）
--------------------------------------------
なお、「５つ」というのは、以下のようにしても数えられます。

(1)の場合は未知数が２つですが、一般の場合、
　(a)楕円の中心がどこにあるか：原点からのx軸方向、y軸方向への移動量が必要なので、未知数が２つ増加
　(b)楕円の傾きの角度はどうか：未知数が１つ増加
ということで、未知数が３つ増加しますから、点は５つ必要となります。

freednia · Answer

円は2点では決まりませんよ。
同じ2点を通る円は大きさを変えて無限に描けます。
円は質問者様もおっしゃる通り3点です。

というか回答者様方の答えを見て「何点で決まるか」に2通りの解釈があることに気付きました。
「通過する点」を考えるのか、「特殊な点」を考えるのか。

円の中心点や楕円の焦点なんかは後者ですね。

keiryu · Answer

N03です。
さらに蛇足。

円って、中心からの距離が一定な点の集まりとも言いますから、中心と半径が分かれば、決定できますよね。
この数え方でいくと、円は２つ分かると決定される。

楕円は、焦点（中心のようなもの）が２つあり、そこからの距離の和が一定なもの、というのですよ。この数え方でいくと、焦点２つに、距離の和と言うことで３つ。

数え方の前提が必要なようです。

押しピンを２つ机に打って、それにある長さの糸を結び、糸がたるまないようにしてその糸に沿って鉛筆でなぞると楕円ができます。
ピン２つ、糸、で３つで決定される。

freednia · Answer

5点だと思います。

4点という答えが多いですが、
もしその4点が長方形（正方形含む）だったらどうですか？
縦長と横長、2つの楕円が描けてしまいます。

keiryu · Answer

nO3です。

未知数を数え間違っちゃって、
４点です。ごめん。

keiryu · Answer

3つ。
楕円の方程式って、知ってますか？
３つの点の座標が決まると、この楕円の方程式が決定できますから。

蛇足。
直線は、y=ax+bと表せますね。
従って、２点の座標が決まると方程式が決定できる、（すなわち、直線が決定される）というのは、中学の２年でやったことありませんか。
これとおんなじ様なものです。

physicsache · Answer

未知数が二つなら、二つの連立方程式。
未知数が三つなら、三つの連立方程式。

楕円の式を見ると、未知数は四つです。。。

楕円はいくつの点でひとつに決まる？

以下のページにいろいろ解説がありますので、ご覧になるといいと思います。

すでに回答は出ていますが、別の観点からお答えします。

なんだか、ごちゃごちゃしてますので、憚りながら解説を。

一般には、５つの通過点で一意的に定まります。

円は2点では決まりませんよ。

N03です。

5点だと思います。

この回答への補足

nO3です。

3つ。

未知数が二つなら、二つの連立方程式。

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