No.1ベストアンサー
- 回答日時:
Xを位相空間とする
~をその上の同値関係とする
π: X→X/~を射影とする
X/~には商位相が入ってる
X/~はT_1空間とする
任意のx∈Xに対して、
π(x)≠y∈X/~
とすると
X/~はT_1空間だから
π(x)を含まない、yの開近傍V(y)がある
y∈V(y),π(x)∈(X/~)-V(y)
G=∪_{π(x)≠y∈X/~}V(y)=(X/~)-{π(x)}
とすると
G=∪_{π(x)≠y∈X/~}V(y)=(X/~)-{π(x)}
はX/~の開集合
π^(-1)(G)=X-π^(-1)(π(x))
がXの開集合の時に
GをX/~の開集合とするという商位相の定義から
GがX/~の開集合なのだから
π^(-1)(G)=X-π^(-1)(π(x))
はXの開集合だから
π^(-1)(π(x))⊂Xが閉集合
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