リーマン積分の可能性

有界閉区間Ｉ＝［a,b］で関数ｆ（ｘ）が定義されていて、有界であるとする。
区間Ｉをｎ分割して、その分割をΔとする。リーマン和Σｆ（ξi)(x(i)-x(i-1))(ξi∈[x(i),x(i-1)])
を考える。[x(i),x(i-1)]におけるｆ（ｘ）の上限、下限をＭｉ、ｍiとおく。
Σｍi(x(i)-x(i-1)≦Σｆ（ξi)(x(i)-x(i-1))≦ΣＭｉ(x(i)-x(i-1))
について左辺をｓΔ、右辺をＳΔとおく。
このとき、（１）任意のε＞０に対して、ある分割Δがあり、ＳΔーｓΔ＜ε
⇒（２）ｆ（ｘ）はＩで積分可能
（証明）（１）が成り立てば、それはｓΔの上限＝ＳΔの下限に他ならない。
とあるのですが、これはどうしてですか？
また、証明の道筋を教えてください。（証明自体は打ち込むのが面倒であればなくてもだいじょうぶです）

No.2 ベストアンサー 回答者： konjii 回答日時： 2018/05/05 08:35

有界閉区間Ｉ＝［a,b］をｎ分割したΔはｄｘのことです。

リーマン和Σｆ（ξi)(x(i)-x(i-1))≒∫ｆ（ｘ）ｄｘです。
ｓΔ≦∫ｆ（ｘ）ｄｘ≦ＳΔで、任意のε＞０に対し有界閉区間Ｉ＝［a,b］をある区間に分割出来るΔが存在すれば
ＳΔーｓΔ＜εが成立してｓΔ＝∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝ＳΔなる∫ｆ（ｘ）ｄｘが存在すると言うことです。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2018/05/05 12:16

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2018/05/04 22:09

s＝ｓΔの上限、S＝ＳΔの下限とすれば　　　ｓΔ≦ｓ≦S≦ＳΔ、なので

S－ｓ≦ＳΔーｓΔ＜εつまり任意のε＞０に対して　S－ｓ＜εだからS－ｓ≦0
一方0≦S－ｓだからS－ｓ＝0、ゆえに　S＝ｓ、ということです。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2018/05/05 12:16