素因数分解を利用した問題について

はじめに、宿題ではございません。
明日、期末テストなのですが、この問題の解き方を教えて下さい。中学三年生の数学の素因数分解を利用した問題です。

112/15(15分の112)と280/33(33分の280)のどちらにかけても積が正の整数となるような分数のうち、最小のものを求めなさい。


もう一つ違うことで分からない点があるのですが、素因数分解を利用して公約数を求めるにはどうすればいいのでしょうか。


お手数ですが、ご回答宜しくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 答えは165/56なのですが、
  分子が165になることは理解できましたが、分母が56になることが理解できません...

    補足日時：2020/07/12 19:15

No.3 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/07/12 19:04

1つ目

112/15は約分できない
ゆえに　これを整数にするためには15または１５の倍数を掛け算です
ということで　求める数は15の倍数だとわかります
同様に　280/33も約分できない
ゆえに　これを整数にするためには33の倍数を掛け算
ということで　求める数は33の倍数という事にもなります
15の倍数でもあり33の倍数でもあるものは
15と33の公倍数で
最小のものを聞かれているので
答えは15と33の最小公倍数
15-30-45・・・
33-66-99・・・と調べていっても良いが面倒なので
最小公倍数＝共通な素因数ｘ15にしかない因数x33にしかない因数　で求めます
15=3x5
33=3x11　なので
最小公倍数=3x5x11=165

２つめ
例　３０と４２の最大公約数の求め方
30=1x2x3x5
42=1x2x3x7なので
それぞれに　共通な因数を取り出せば　それが公約数なので
公約数は1,2,3と分かります
また共通なものを組み合わせた2x3も公約数であることを忘れてはいけません
ゆえに　６も公約数
公約数の中で最大の物が最大公約数で、今回は６
ただしこの方法だと見落としがあるかもしれないので
最大公約数を見つけるのは次のように下側へ次々と割り算（筆算）していく方法を採用している人も多いです
2)30,42
ーーーーー　　←←←　まずは30と42を並べて両方とも割り切れる数２で割り算！商を下に書き出します
　15,21
↓
2)30,42
ーーーーー　　
3)15,21
ーーーーー　←←←　同じように15,21を両方とも割り切れる数３で割り算
　５　７

５、７をともに割り切れる数はないので（１は除外）
筆算はここで終了
割り算した数をすべて掛け算すれば最大公約数です
今回は2と３なので　2x3=6

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2020/07/12 19:13

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/07/12 19:31

掛け算して両方とも整数にできる　最小の整数は165

実際に掛け算すれば
(112/15)x165=1232
(280/33)x165=1400
掛け算する数は分数でも良いという事なので（・・・＃３では見落としいました）
1232と1400をともに割り切れる最大の数（最大公約数を）見つける
1232=11x112=11x4x28=2⁴x7x11
1400=14x100=2x7x2x2x5x5=2³x5²x7
#3で解説したように　筆算をするなどして
最大公約数は2³x7=56であることが分かるので
1232と1400はともに56で割っても整数となることが分かる（ただし56は最大公約数なのでこれ以上大きな数で割っても両方整数とはならない）
つまり　112/15は165倍して更に56で割っても整数であり
280/33も165倍して更に56で割っても整数であるということだから
2つの分数はともにx165÷56をしても整数であることが分かる
ゆえに求める数は
x165÷56=165x(1/56)=165/56

この回答へのお礼

2回もご回答ありがとうございます！

お礼日時：2020/07/12 19:36

No.2 回答者： むらさめ 回答日時： 2020/07/12 18:55

112/15　=　2^4･7　/　(3･5)　　←　これくらいの素因数分解は直ぐに出来るように熟練しておくのが最初の1歩。

280/33　=　2^3･5･7　/　(3･11)

上の2つの素因数分解の結果、要は分母が1になると良い。
(3･5･11)=165　を掛けると分母が1となるが、条件として　分数のうち、最小のもの　とある。

分母側に共通の素因数、2^3･7　を掛けて分母にする
3･5･11　/　2^3･7　=　165/56　答え　165/56

例えば
112　=　2^4･7
280　=　2^3･5･7　と素因数分解できる。
素因数分解して、それぞれの共通の因子を組み合わせることで、公約数が求まる。
即ち、1,2,4,8,7,14,28,56　が公約数となる。

組み合わせて掛けると公約数は求まるけれど、見落としやすいので注意は必要。公約数で　1　は見落としやすい。
でも、このくらいの問題は実際の試験では時間を掛けられないと思うので、手早くやることも必要。

問題に呑まれずに、ある程度、油断せずに簡単に考えることも必要かなと。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2020/07/12 19:13

No.1 回答者： tetsushi_masakari 回答日時： 2020/07/12 18:34

15＝3*5と33=3*11の最小公倍数。

３と５と11の積.

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2020/07/12 18:39