問3(2)についてです。 (1)より、An+1 = An + 2Bn, Bn+1 = An + Bn

問3(2)についてです。
(1)より、An+1 = An + 2Bn, Bn+1 = An + Bn
同様に、Cn+1 = Cn + 2Dn, Dn+1 = Cn + Dn
が導けました。
ならば、An = Cn, Bn = Dnと言いたい所ですが、
そうなると問題より、(1+√2)^n = (1-√2)^n ということになってしまいます。
よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 訂正です。
  Cn+1 = Cn - 2Dn, Dn+1 = -Cn + Dn です。
  大変失礼しました。

    補足日時：2020/07/15 15:36

• 答えから逆算すると、
  An = Cn, Bn = -Dn が言えます。
  この関係への導き方を教えていただきたいです。

    補足日時：2020/07/15 15:52

• @ありものがたり様
  すみませんあと一つ質問があります。
  9行目→11行目で、式と式を繋ぐ符合が+ → - に変わるのは何故ですか？

    補足日時：2020/07/15 19:37

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/15 19:51

＞ 9行目→11行目で、式と式を繋ぐ符合が+ → - に変わるのは何故ですか？

それは既に No.1 に書いた。
(-1)^(奇数 k) = -1 なので、

Σ[k=0...ｎの中の奇数] (nCk)(-√2)^k
= Σ[k=0...ｎの中の奇数] (nCk) (-1)^k (√2)^k
= Σ[k=0...ｎの中の奇数] (nCk) (-1) (√2)^k
= (-1) Σ[k=0...ｎの中の奇数] (nCk)(√2)^k

この回答へのお礼

理解しました。
ありがとうございます。

お礼日時：2020/07/15 20:04

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/15 19:48

＞ { } で √2 前までくくれるのは何故ですか？

√2 は、偶数乗すると整数になるから。

この回答へのお礼

理解しました。
質問攻めにも関わらず丁寧に答えてくださり、本当にありがとうございます。

お礼日時：2020/07/15 20:05

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/15 17:33

二項定理です。

(1+√2)^n = Σ[k=0...ｎ] (nCk)(√2)^k
= Σ[k=0...ｎの中の偶数] (nCk)(√2)^k + Σ[k=0...ｎの中の奇数] (nCk)(√2)^k
= { Σ[k=0...ｎの中の偶数] (nCk)(√2)^k } + { Σ[k=0...ｎの中の奇数] (nCk)(√2)^(k-1) }√2,
(1-√2)^n = Σ[k=0...ｎ] (nCk)(-√2)^k
= Σ[k=0...ｎの中の偶数] (nCk)(-√2)^k + Σ[k=0...ｎの中の奇数] (nCk)(-√2)^k
= { Σ[k=0...ｎの中の偶数] (nCk)(√2)^k } - { Σ[k=0...ｎの中の奇数] (nCk)(√2)^(k-1) }√2.

上記の{ } 内はどれも整数なので、
An = Cn = Σ[k=0...ｎの中の偶数] (nCk)(√2)^k,
Bn = -Dn = Σ[k=0...ｎの中の奇数] (nCk)(√2)^(k-1)
であることが判ります。
(-1)^(奇数 k) = -1 なので、Bn = -Dn であり、Bn = Dn ではないですね。

(1+√2)^n = An + Bn √2,
(1-√2)^n = Cn + Dn √2 = An - Bn √2
より、
An = (1/2){ (1+√2)^n + (1-√2)^n },
Bn = (1/2){ (1+√2)^n - (1-√2)^n }.

漸化式の出番は無いかな。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
4行目→6行目の変形についてです。
Σ[k=0...nの中の奇数] (nCk) {(√2)^(k-1)・√2} となるとは思いますが、{}で√2前までくくれるのは何故ですか？

お礼日時：2020/07/15 19:27