数列の問題です。 anの極限を求めようとしているのですが、Snをつかって導こうとしたら対象式みたいに

数列の問題です。
anの極限を求めようとしているのですが、Snをつかって導こうとしたら対象式みたいになって求められません。どのようにするのが最適でしょうか。

質問者からの補足コメント

• 解いてみました。この解き方に問題はないでしょうか？

  
    補足日時：2020/07/24 00:52

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/23 20:05

収束することを示した後、漸化式両辺の極限を取る

または、
漸化式両辺の極限を取って極限の候補を絞った後、
そこへ収束することを証明する
というのは、
一般項が陽に表せない数列の極限を求めるための
常套手段です。
差分方程式って、微分方程式同様
解けるとは限らないですからね。

No.1 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2020/07/23 17:44

a(n)を表す式を導くのは無理でしょうね。

直感的に考えると{S(n)}は常に正で単調増加しますから収束するとすれば{a(n)}はn→∞で0に収束すると予想できます。これを示せばよいでしょう。

{a(n)}が収束するとしてその極限値をαとでも置きます。これが0にないと仮定して矛盾が生じることを示せばよい。
α≠0のとき{S(n)}がある値に収束することは簡単に言えます。
a(n)=S(n)-S(n-1)の両辺のn→∞の極限をとってみればよいでしょう。

{a(n)}が収束する、ということはa(n)が常に正であることとa(n)が単調減少であることから示せます。