対数の問題

年利５%で毎年2万円ずつ積み立てるとき、2000万円を超えるのは何年後になりますか？

No.4 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/07/31 23:19

途中計算ミスった。

(1.05/0.05)(1.05^n - 1)>1000
21(1.05^n - 1)>1000
1.05^n - 1>1000/21
1.05^n>1000/21 + 1=1021/21

底が21の対数をとると、

nlog[21](21/20)>log[21](1021/21)
n>log[21](1021/21)/log[21](21/20)=(log[21](1021) - 1)/(1 - log[21](20))≒79.6

よって、80年後に2000万円を超える。

No.3 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/07/31 23:09

1年目：20,000×1.05=21,000

2年目：41,000×1.05=(21,000+20,000)×1.05=20,000×1.05^2 + 20,000×1.05=20,000×1.05×(1.05+1)
3年目：20,000×1.05^3 + 20,000×1.05^2 + 20,000×1.05=20,000×1.05×(1.05^2 + 1.05 +1)
：
n年目：20,000×1.05×Σ[k=1, n] 1.05^(k-1)=20,000×1.05×((1-1.05^n)/(1-1.05))=20,000×1.05×(1.05^n - 1)/0.05

これが2000万円(20,000,000円)を超えるには、

20,000×1.05×(1.05^n - 1)/0.05>20,000,000

が成り立つ必要がある。

(1.05/0.05)(1.05^n - 1)>1000
21(1.05^n - 1)>100
1.05^n - 1>100/21
1.05^n>100/21 + 1=121/21

底が21の対数をとると、

nlog[21](21/20)>log[21](121/21)
n>log[21](121/21)/log[21](21/20)=(log[21](121) - 1)/(1 - log[21](20))≒35.9

よって、36年後に2000万円を超える。

No.2 回答者： springside 回答日時： 2020/07/31 22:58

最初の2万円がx年後、次の2万円がx-1年後、次の2万円がx-2年後、…だから、

2･1.05^x+2･1.05^(x-1)+2･1.05^(x-2)+…+2･1.05²+2･1.05+2
=2{1-1.05^(x-1)}/(1-1.05)
=40{1.05^(x-1)-1} > 2000

x>log(51)/log(1.05)+1≒81.5

答：82年後

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/31 22:48

最初の残高 0 円。

a[0] = 0.
2 万円積んで 1 年経つと、 a[n+1] = (a[n] + 2)(1 + 5/100).

方程式 A = (A + 2)(1 + 5/100) を考えてみると、解は A = -42.
漸化式と方程式を引き算すると、 a[n+1] - A = (a[n] - A)(1 + 5/100).
よって a[n] - A = (a[0] - A)(1 + 5/100)^n と解ける。
a[n] = - 42 + 42(21/20)^n である。

2000 < a[n] = - 42 + 42(21/20)^n を n について解けば、
n > log{ (2000 + 42)/42 } / log(21/20) = (log1021 - log3 - log7)/(log3 + log7 - 2log2 - log5)
これはもうどうしようもないなあ...

電卓に頼って、
n > log{ (2000 + 42)/42 } / log(21/20) ≒ log(48.619)/log(1.05) ≒ 3.8840/0.048790 ≒ 79.606
a[n] > 2000 となるのは、80年後の入金前ということになる。