急いでいます 物理 糸で結ばれた水平面で円運動する物体と垂直にたれた物体

以下の問題を教えていただきたいです。特に（２）の安定であるかどうかという問題が見当つかないです。
水平面に固定された滑らかな板の中心に小さな穴が開けられており、その穴に一端を点Aに固定した糸を通し、他端に質量ｍの物体を取り付ける。糸を引っ張ったまま物体に初速度v₀を与え、板の上で半径ｒの等速円運動をさせた。このとき、以下の問いに答えよ。ただし、物体と板の間に働く摩擦力、および板に開けられてある穴での糸への摩擦力は無視できるものとし、重力加速度の大きさをｇとせよ。
（１）その後、固定している点Aを距離a（＜ｒ）だけゆっくり引き下げ固定する。その時物体の円運動の速さを求めよ。
自分は角運動量保存則から v=r*v₀/r-a と考えました。
（２）点A での糸の固定を外し、質量ｍの物体を取り付けた。その後、板の上の物体に初速度v₀を与え、板の上で半径ｒの等速円運動をさせた。この時、ｒとv₀の間の関係を求めよ。また、この円運動が安定であるかどうか調べよ。
一つ目の問いは mg=m*v₀²/r で考えるだけでしょうか。
もう一つはさっぱりわかりません。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2020/08/03 21:07

＞角運動量保存則から v=r*v?/r-a と考えました

それじゃあ、
　v = (r*v0/r) - a = vo - a
になっちゃうよ。

角運動量保存は
　vo*r = v(r - a)
だから
　v = vo*r/(r - a)
だな。

式はきちんと正確に書かないとね。

(2) 問題文の条件が不明確だが、点Ａという糸の端に質量 m をぶら下げて、その重力 mg を回転運動の向心力にするということと解釈します。

そうすれば、質問者さんのいう通り
　mg = m(vo)^2 /r
でよいと思います。整理すれば
　(vo)^2 = gr

これが安定かどうかは
・(vo)^2 /r = g　だったら安定
・(vo)^2 /r < g　だったら半径は小さくなっていく
・(vo)^2 /r > g　だったら半径は大きくなっていく

でよいのではないかな？
他には答えようがない。

この回答へのお礼

記入ミスでした、失礼しました。ご回答いただきありがとうございます。

お礼日時：2020/08/03 21:22

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/08/04 20:29

(1) 中心力は角運動量を変化させないから

V(r-a)=V0r→V=V0r/(r-a)
(2)重力=円運動の遠心力だから
mg=mV0^2/r

ここで僅かに
mg>mV^2/r
だとしましょう。重力>遠心力だからrが小さくなりますが
角運動量は変化しないので Vrは―定。つまりrが減るとVは増えます。
つまりV^2/rは増えるので、rが小さくなると mg=mV^2/r
となるrに近づくなるでしょう。
同様のことが
mg<mv^2/r
でも起こります。つまりrは mg=mV^2/rのrを中心に
振動すると思います。
ここで糸と穴との間に若干の摩擦があれば
mg=mv^2/rのrで安定(収束)するでしょう。

しかし問題では摩擦はないとしているので
rはいつまでも振動していると思います。

これを「安定」と呼ぶかは明確な定義は
ないですが、一定の振動から外れて行かないという
意味では安定です。