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自然長L,ばね定数kの質量が無視できる理想的なばねの一端を天井に固定し,ばねを鉛直方向に吊り下げる。
ばねの下端に質量mの質点をとりつける。天井の位置を原点として鉛直方向下向きにy軸をとる。重力加速度の大きさをgとして,以下の問いに答えよ。
(1)質点の運動方程式を書くと,m (d^2 y)/(dt^2 )= A となる。このAの部分にあてはまる式を答えよ。
(2)以下では,L=10m,k=200N/m,m=2 kg,g=10 m/s2とする。この物体に作用する力がつりあうときの質点のy座標の値を答えよ。
(3)質点をつり合いの位置から少しずらして,静かに手を離すと,この質点は単振動をする。この単振動の角振動数と周期を単位も含めて答えよ。ただし,円周率はπとする。
(4)この物体に作用する力は全て保存力である。物体に作用している力の合力のポテンシャルをy=10の位置を基準として表すとき,y=11におけるポテンシャルの値はいくらか。
(5)物体がy=10の位置からy=11の位置まで動く間に,ばねがする仕事はいくらか?
(6)y=11の位置に静止していた物体が,y=9.9の位置を通過する際の速さはいくらになるか?
(7)問(6)の場合に,この物体が動く範囲を B ≤y≤ C とする。BとCにあてはまる数値をそれぞれ答えよ。
問題集の問題で回答も解説もなく分かりません。よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

  • 大学生です。全く分かりません。

      補足日時:2020/08/13 13:05

A 回答 (2件)

No.2 です。

「補足」を見ました。

>大学生です。全く分かりません。

それは致命傷です。
このような「力学の基本のキ」(ほとんど高校物理のレベルです)が分からないと、これから先は全くチンプンカンプンになると思います。
悪いことは言いませんので、夏休み中にこれまでのところを徹底して復習してください。
ひょっとして、一度も勉強していない? というレベルですよ。

「下向きに y 軸をとる」と指定されているので、
・おもりに働く重力:F1 = mg
・質点の位置が y のとき、自然長からの伸びが y - L なので、バネの復元力
  F2 = -k(y - L)
(マイナスが付いているのは、y - L > 0(伸び)のとき復元力は上向き、y - L < 0(縮み)のとき復元力は下向きだからです)

(1) 従って、働く力は
 F = F1 + F2 = mg - k(y - L)
なので、
 A = F = mg - k(y - L)    ①

(2) 力がつり合っていれば静止している、つまり加速度 a = d2y/dt2 = 0なので
 F = mg - k(y - L) = 0
よって
 mg = k(y - L)
→ y = mg/k + L

元々のバネの長さ L に、質量 m の重力分 mg/k だけ伸びた長さということ。

数値を入れれば
  y = { 2[kg] * 10[m/s^2] / 200[N/m] } + 10[m]
   = 0.1 [kg・m^2/(N・s^2] + 10[m]
   = 0.1[m] + 10[m]
   = 10.1[m]

(3) 大学生なら
 m*d2y/dt2 = mg - k(y - L)    ③
の微分方程式を解きましょう。

このまま解いてもよいですが、おもりをつるして静止した位置
 L0 = mg/k + L
を新たな鉛直方向の座標の原点にすれば、ここを中心に単振動します。
 z = y - L0 = y - (mg/k + L)
とおけば
 d2y/dt2 = d2z/dt2
なので、③は
 m*d2z/dt2 = -kz    ④
となり、これを解けば、一般解
 z(t) = C1*sin(ωt) + C2*cos(ωt)
 (ただし ω = √(k/m) )
が得られます。

従って、数値を当てはめれば
・角振動数:ω = √(k/m) [1/s] = √(200/2) = 10 [1/s]
・周期:T = 2パイ/ω = 2パイ√(m/k) [s] = 2パイ√(2/200) = 0.2パイ [s]

(4) y=10 [m] はばねの自然長であり、ここを基準にすれば、y=11 は鉛直下方向に Δy = 1 つまり h = -1 なので、位置エネルギーは
 mgh = -mg
一方、バネの復元力のポテンシャルエネルギーは、y=10 のときは 0 で、y=11 のときは
 Ef = (1/2)k(Δy)^2 = (1/2)k
従って、ポテンシャルは
 Ep = -mg + (1/2)k = -2 * 10 + (1/2)*200 = 80 [J]

(5) このポテンシャルの変化が「バネの復元力」のした仕事であり、バネの復元力は上向きなので、仕事は
 -80 [J]

(つまり、バネは復元力に逆らって「仕事をされた」ということ。バネの復元力に逆らって「手で下げた」のであれば、手の力のした仕事が「80 J」という正の値になる)

(6) 力学的エネルギー保存より
・y=11 のとき 位置エネルギー:-20 [J]
       バネの復元エネルギー:100 [J]
       運動エネルギー:0

・y=9.9 のとき 位置エネルギー:mgh = 2 [J]
        バネの復元エネルギー:(1/2)k(Δy)^2 = 10 [J]
 よって、差し引き運動エネルギーは
  Ek = 80 - (2 + 10) = 68 [J] = (1/2)mv^2
  で m=2[kg] なので
   v^2 = 68 → v ≒ 8.25 [m/s]

(7) y<10 で運動エネルギーが 0 になる Y は
 位置エネルギー:mgh = 20(10 - Y) [J]
 バネの復元エネルギー:(1/2)k(Δy)^2 = 100(Y - 10)^2 [J]
より
 20(10 - Y) + 100(Y - 10)^2 = 80
を満たす。
これを整理して
 (10 - Y) + 5(Y - 10)^2 = 4
→ 10 - Y + 5Y^2 - 100Y + 500 = 4
→ 5Y^2 - 101Y + 506 = 0
二次方程式の一般解は
 Y = [101 ± √(101^2 - 4*5*506)]/10
  = [101 ± √81]/10
  = [101 ± 9]/10
  = 11, 9.2
Y<10 の解は
 Y = 9.2

つまり、おもりをつるして静止した中立点 y=10.1 に対して、手を離した y=11 と対称になる高さということになります。
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何が分からない?


どこまでできて、どこが分からない?
高校生? 大学生以上?
それによって答え方が変わります。
とりあえずの解き方を書いておきます。

(1) 運動方程式は ma=F だから、Aに相当するのは「F」つまり「働く力」

(2) 重力とバネの復元力がつり合う。

(3) 大学生以上なら微分方程式を解く。
高校生なら「ばね単振動」の公式を使うしかない。

(4) 位置エネルギーを計算するだけ。

(5) ばねの「復元力」がする仕事ですね。積分して求めてもよいし、加えた仕事がエネルギーの変化に等しいという関係を使ってもよい。
「した仕事」「された仕事」の正負に注意。「仕事」は「力の方向」が正となる。

(6) 力学的エネルギー保存則から求まる。「位置エネルギー」「運動エネルギー」「ばねの弾性エネルギー」の3つを考える。

(7) 「力学的エネルギー保存則」で「運動エネルギー」がゼロのなるときの条件。
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