変数変換の意味を教えて下さい。 例えばx⁶-9x³+8=0という方程式を u=x³と変数変換するとは

変数変換の意味を教えて下さい。
例えばx⁶-9x³+8=0という方程式を
u=x³と変数変換するとはどういう事なのでしょうか？
この等式u=x³は恒等的に等しいということでしょうか？

No.4 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/08/21 16:11

x⁶-9x³+8=0 と

u=x³ の
連立方程式だと思えばいい。

恒等的に等しいというのは、変数間の関係式を指していう言葉だが、
この場合の x と u は、変数ではなく未知数(定数の一種)だからね。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
よくわかりました。

変換の仕方によっては解が変化してしまう場合が
ありますでしょうか？

お礼日時：2020/08/21 19:32

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/08/21 21:03

＞関数の最大値・最小値を考える場合の

＞変数変換はどう理解すれば良いのでしょうか？

未知数は変数じゃないって No.4 に書いたんだけどな...
その話とこの話はゴッチャにしないほうがいい。
式面は似ているようで、実は全然違うことだから。

この回答へのお礼

全然別の話という事なので新たに質問する事にいたします。

宜しかったらそちらの方でも回答をお願いいたし。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2020/08/21 21:11

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/08/21 20:09

＞x=aは方程式f(x)=0を満たすが、

＞方程式g(x,u)=0を満たすuが存在しない場合は
＞有り得ないでしょうか？

それは当然あり得ます。
でも、それって u の解が問題になるだけで、
f(x)=0 自体は変わってないから、解 x は変化しませんよね。

f(x)=0 に g(x,u)=0 を連立させて F(u)=0 と変形した場合、
(f(x)=0 かつ g(x,u)=0) と (g(x,u)=0 かつ F(u)=0) が
同値かどうかは、 f( ) と g( , ) の関係によって違ってくるでしょう。
(f(x)=0 かつ g(x,u)=0 かつ F(u)=0) から f(x)=0 が消せない
場合もあり得ます。 そこは、個々の例で確認が必要です。

この回答へのお礼

わかりました。
ありがとうございます。

例にあげたような方程式ではなく
関数の最大値・最小値を考える場合の
変数変換はどう理解すれば良いのでしょうか？

例えば
関数f(x)=cos²x+2cosxに対して
t=cosxとおくとどういう事なのでしょうか？

関数f(x)=cos²x+2cosxと
関数g(t)=t²+2t (-1≦t≦1)の最大値・最小値が
一致するというのはわかりますが、
t=cosxという式の意味がわからないです。

お礼日時：2020/08/21 20:34

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/08/21 19:38

＞変換の仕方によっては解が変化してしまう場合が

＞ありますでしょうか？

それは、さすがにないでしょ。 普通に考えようよ。
与えれれた方程式 f(x)=0 に g(x,u)=0 を連立させて式変形を図った場合、
関数 g( , ) が変われば解 x に対応する u の値は変わるかもしれないが、
もとの方程式 f(x)=0 は変化していないのだから、解 x が変化することはない。

この回答へのお礼

x=aは方程式f(x)=0を満たすが、
方程式g(x,u)=0を満たすuが存在しない場合は
有り得ないでしょうか？

お礼日時：2020/08/21 19:55

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2020/08/21 14:02

置き換えるのは、計算をし易くする為です。

変換しなくても、計算できるのなら その必要はありません。
あえて言うならば、「恒等的に等しいように u=x³ とする」と云う事でしょうか。
x⁶-9x³+8=(x³-1)(x³-8)=(x³-1³)(x³-2³)=(x-1)(x²+x+1)(x-2)(x²+2x+4)=0 。
x が 実数ならば x-1=0, x-2=0 → x=1, 又は x=2 。
複素数の範囲まで考えれば、x²+x+1=0, x²+2x+4=0 から、
x=(-1±√3i)/2 又は x=-1±√3i も 解になります。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2020/08/21 12:32

＞u=x³と変数変換するとはどういう事なのでしょうか？

処理をしやすくするということです。

＞この等式u=x³は恒等的に等しいということでしょうか？

そういうことです。「恒等的に等しい」というよりは「恒等的に成立することが要求される」ということです。
そうでなければ変換できません。
たとえば、
　t＝x^2
と変換した場合には、±x に対して t が対応することになります。

また
　z = sin(x)
と変換した場合には、n を任意の整数として
　x = arcsin(z) ＋ 2nパイ
を満足しなければならないということです。

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2020/08/21 11:40

u=x³と変数変換すると（ｘは実数）

x⁶-9x³+8=0⇒u²－９u+8=0
(u-1)(u-8)=0
u=1,8
x³＝１，８
ｘ＝１、２と解きやすくなります。