実数全体の集合R→[0,1)の全単射の例を教えてください。 よろしくお願いいたします。

実数全体の集合R→[0,1)の全単射の例を教えてください。
よろしくお願いいたします。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2020/08/26 10:53

f(x) = if x=0 then 0

else
xの符号をg∈{-1,1}として、|x|の2進数無限小数展開を考える。小数点以上k桁目をn[k]、小数点以下k桁目をs[k]とする(k＝1〜∞）。で、
　f = (g+1)/4 + Σ(n[k] + s[k]/2)(2^(-2k)) (Σはk=1〜∞の総和）

逆関数x(f)は
　　g= fの小数点以下1桁目
　　n[k]= fの小数点以下2k桁目
　　s[k]= fの小数点以下2k+1桁目
として
x(f) = (2g-1) Σ(n[k](2^(k-1)) + s[k](2^(-k))) (Σはk=1～∞の総和）

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/08/25 23:48

↓じゃだめなの？ 全単射が要るの？

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11852754.html

とりあえず、[0,1) から (0,1] へ、
f(x) = 1-x で移す。

次に、(0,1] から (0,1) へ、
x = 1/n (nは自然数) のとき g(x) = 1/(n+1),
それ以外のとき g(x) = x であるような g(x) で移す。

最後に、(0,1) から (-∞,+∞) へ、
h(x) = 1/x + 1/(x-1) で移す。

f, g, h がそれぞれ全単射なので F(x) = h(g(f(x))) も全単射であり、
F は [0,1) から (-∞,+∞) への全単射になっている。
(-∞,+∞) から [0,1) へがいいなら、F の逆関数をとればいい。

No.1 回答者： Mokuzo100nen 回答日時： 2020/08/25 23:37

集合R→[1,2)