集合論の濃度の大小についての問題です。 (系)|A|≦|B|かつ|B|≦|A⇒|A|=|B|を使い次

集合論の濃度の大小についての問題です。
(系)|A|≦|B|かつ|B|≦|A⇒|A|=|B|を使い次を証明せよ。
単射たちの列C_1 → C_2 → ・・・ → C_n → C_1が存在すれば濃度|C_1|=|C_2|=・・・=|C_n|である。

これって、例えば|C_1|=m, |C_2|=nとし、m≦n,n≦mであるから、C_1からC_2,C_2からC_1の単射が存在するので、この操作を続けるとベルンシュタインの定理より|C_n|=|C_1|となる、ということでしょうか？
ということでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： xixixi 回答日時： 2020/08/27 19:44

（系）がベルンシュタインの定理ですね。

> ということでしょうか？
それでよいでしょう。
きちんと書くと，
単射の合成は単射なので，各 m ( 2 ≦ m ≦ n ) に対して，
単射 C_1 → C_m，C_m → C_1 がある。
よって | C_1 | ≦ | C_m |，| C_m | ≦ | C_1 | となり，ベルンシュタインの定理より，
| C_1 | = | C_m | 。

この回答へのお礼

詳しい説明ありがとうございました！単純なことに気付けず、まだまだ勉強不足でした。とても助かります。ありがとうございました！

お礼日時：2020/08/27 23:22

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/08/27 17:18

ベルンシュタインの定理って、何やねん？

単射の列 C_1 → C_2 → ・・・ → C_n → C_1 の中に全射でないものがひとつでもあれば
それらを合成した C1→C1 は全射ではないが、
C1→C1 には恒等写像という全単射が存在するから
合成して全単射になる単射の組がないとおかしいやろ？という話。
形式的にキチっとやると、背理法で書くことになるが。