基礎数学II

三角関数の性質の問題です。
tan(θ+π/2)=-1/tanθの
等式の証明ができません。
解答お願いします。

質問者からの補足コメント

• sinとcosはグラフをずらして証明が
  できるのですがtanの場合は学校の方で
  扱っておらず単位円を使おうと思ったのですがやり方が
  わからないのです。説明下手ですみません。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/09/01 18:20

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/09/02 00:34

「直交する直線の傾きの積は -1」っていっちゃダメなのかなぁ.

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2020/09/01 19:20

グラフではなく、tanθ=sinθ/cosθ は 分かりますね。

そして、これはグラフでも分かる通り、
sinθ と cosθ との値は π/2(90°) の差がありますね。

No.3 回答者： むらさめ 回答日時： 2020/09/01 18:49

tan(θ+π/2)=sin(θ+π/2)/cos(θ+π/2)　①

ここで、三角関数の性質より
sin(θ+π/2)=cosθ
cos(θ+π/2)=-sinθ　※

①は
=cosθ/(-sinθ)
=-1/(sinθ/cosθ)
=-1/tanθ　←　証明終わり

※　このsinとcosの変形を加法定理で行うことも出来るのですが、
sin(θ+π/2)=sinθ･cosπ/2+cosθ･sinπ/2
=sinθ･0+cosθ･1
=cosθ

cos(θ+π/2)=cosθ･cosπ/2-sinθ･sinπ/2
=cosθ･0-sinθ･1
=-sinθ

と手順が面倒なのと加法定理まで習っていないなら、”三角関数の性質より”　で言い切ってしまった方が楽だと思います。

No.2 回答者： notn 回答日時： 2020/09/01 18:20

加法定理より

sin(θ+π/2)=cosθ
cos(θ+π/2)=-sinθ

よって
tan (θ+π/2)
= sin(θ+π/2) /cos(θ+π/2)
=cosθ/-sinθ
=-1/tanθ

tanの加法定理だとtanπ/2が∞になってしまうので上手くいかないと思いこの方法にしました。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/09/01 18:14

何をどう考えてどこで困っている?