次の関数の不定積分を教えてください。 1. (logx)^2 2. xe^3x 3. xcos2x

次の関数の不定積分を教えてください。
1. (logx)^2
2. xe^3x
3. xcos2x

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/09/24 09:11

どうせ読まずに削除されるんだろうけど、

答えておくかな。 性分だから。

2.3.の式の書き方が微妙だが、
1. (log x)^2
2. x e^(3x)
3. x cos(2x)
と読んでおく。
やり方はいろいろあるだろうが、
部分積分が使えそうだ。

１．
∫{(log x)^2}dx = ∫{1・(log x)^2}dx = ∫{(x’)・(log x)^2}dx
= x・(log x)^2 - ∫{x・( (log x)^2 )’}dx
= x (log x)^2 - ∫{x・2(log x)(1/x)}dx
= x (log x)^2 - 2∫{log x}dx

∫{log x}dx くらいは既知としてもよいかもしれないが、
再度部分積分するなら
∫{log x}dx = ∫{1・log x}dx = ∫{(x’)・log x}dx
= x・log x - ∫{x・(log x)’}dx
= x log x - ∫{x・(1/x)}dx
= x log x - ∫1dx
= x log x - x + C　； C は定数

よって、
∫{(log x)^2}dx = x (log x)^2 - 2∫{log x}dx
= x (log x)^2 - 2{ x log x - x + C }
= x (log x)^2 - 2x log x + 2x - 2C
= x (log x)^2 - 2x log x + 2x + D　； D は定数

2.
∫{x e^(3x)}dx = ∫{x・( (1/3)e^(3x) )’}dx
= x・( (1/3)e^(3x) ) - ∫{(x’)・( (1/3)e^(3x) )}dx
= (x/3)e^(3x) - ∫{1・( (1/3)e^(3x) )}dx
= (x/3)e^(3x) - (1/3)∫{e^(3x)}dx
= (x/3)e^(3x) - (1/3){ (1/3)e^(3x) + C }　； C は定数
= (x/3)e^(3x) - (1/9)e^(3x) - C/3
= (x/3)e^(3x) - (1/9)e^(3x) + D　； D は定数

3.
∫{x cos(2x)}dx = ∫{x・( (1/2)sin(2x) )’}dx
= x・( (1/2)sin(2x) ) - ∫{(x’)・( (1/2)sin(2x) )}dx
= (x/2)sin(2x) - ∫{1・( (1/2)sin(2x) )}dx
= (x/2)sin(2x) - (1/2)∫{sin(2x)}dx
= (x/2)sin(2x) - (1/2){ - (1/2)cos(2x) + C }　； C は定数
= (x/2)sin(2x) + (1/4)cos(2x) - C/2
= (x/2)sin(2x) + (1/4)cos(2x) + D　； D は定数