(3)がわかりません

図のように,傾きの角のなめらかな斜面上にばね定数k[N/m]のばねの一端を固定し,他端に質量 m[kg]の小球をつなぐ。小球は斜面の方向にそってのみ運動するとする。また,重力加速度の大きさをg[m/s ] とする。

(1) 小球が斜面に静止しているときのばねの伸び xo[m]を求めよ。
(2) ばねの伸びが x[m]であるとき,小球にはたらく斜面方向の力 F[N] を k, x,
xoを用いて表せ。斜面方向下向きを正とする。
(3) 小球を手で支え、ばねを自然の長さにしてから手を静かにはなすと,小球は振動を始めた。このとき,振動の周期 T[s]と,小球の速さの最大値 Vmax[m/s]
を m, k, xo を用いて表せ。円周率をπとする。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/09/27 13:14

(1) ばねの力のつり合いから、斜面の仰角を θ とすると

・小球に働く重力の斜面方向成分の大きさ（斜面下向き）
　F1 = mg*sinθ
・ばねの復元力の大きさ（斜面上向き）
　F2 = k*xo
で、これがつり合うので
　mg*sinθ = k*xo
→　xo = (mg/k)sinθ　　　　①

(2) ばねの自然長からの伸びを x とすると、小球がつり合った位置からの変位は
　x - x0
になります。従って、ばねの復元力は、斜面下方向を正として
　F = -k(x - xo)　　　　②
となります。
（x>xo のとき F はマイナス＝斜面上向きの力、x<xo のとき F はプラス＝斜面下向きの力）

(3) 質問者さんが大学生以上なら、②の力から運動方程式
　ma = -k(x - xo)
を立て、
　a = dv/dt = d²x/dt²
とした微分方程式を解いて、初期条件（t=0 のとき x=0, v=0）を適用することで解答できると思います。

質問者さんが高校生だと、微分方程式を解くことは「学習範囲外」なので、
・ばねの単振動は「つり合い位置を中心とした運動」で、その周期は T=2パイ√(m/k) になる
という「与えられたばね単振動の性質」を使うしかありませんね。
ということで、周期は
　T = 2パイ√(m/k)

小球の速さの最大値 Vmax[m/s] は、高校生だと「力学的エネルギー保存」から解きます。
このとき、ばねの単振動は「つり合い位置を中心とした運動」なので、小球のつり合いの位置で速度が最大になることは「自明」として解くしかありません。
ばねのつり合いの位置を「位置エネルギーの基準」とすれば
・最初に小球を放す位置は「ばねの自然長」なので、そのときの位置エネルギーは
　Ep0 = mg*xo*sinθ
　このときには、ばねは自然長で静止しているので
　ばねの弾性エネルギー：Es0 = 0
　小球の運動エネルギー：Ek0 = 0
です。

一方、単振動中に「つり合い位置」を通過するときには、その速度を v とすると
・位置エネルギーは、ここを基準にするので Ep1 = 0
　ばねは自然長から xo 変位しているので、弾性エネルギーは
　　Es1 = (1/2)k(xo)^2
　小球の運動エネルギーは
　　Ek1 = (1/2)mv^2

空気の抵抗や摩擦がなければ力学的エネルギーが保存されるので
　Ep0 + Es0 + Ek0 = Ep1 + Es1 + Ek1
ここに上記の各エネルギーを代入すれば
　mg*xo*sinθ + 0 + 0 = 0 + (1/2)k(xo)^2 + (1/2)mv^2
よって
　(1/2)mv^2 = mg*xo*sinθ - (1/2)k(xo)^2
→　v^2 = 2g*xo*sinθ - (k/m)(xo)^2
→　v = √[2g*xo*sinθ - (k/m)(xo)^2]　　　　③

ここで、①の関係から
　g = [k/(m*sinθ)]xo　　　　　　　④
を使って③から g を消去すると
　v = √{2[k/(m*sinθ)](xo)^2*sinθ - (k/m)(xo)^2}
　　= √{(k/m)(xo)^2}
　　= xo√(k/m)
これが Vmax になるので
　Vmax = xo√(k/m)

（通常は、xo を使わずに、m, k, g, θ を使って表わすことが多いと思います、そのときには、④を xo=mg*sinθ/k として③に代入して xo を消去すればよいです）


（注）#1 さんの回答で、

＞Xでの復元力をFとおけば
＞F=kX²という関係が導かれるはず

は「F = -kX」ではないかと思います。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/09/26 21:32

まず釣り合いの位置を調べる・・・(1)

この位置が振動の中心です
つまりxoが振動の中心
ゆえに　ばねがx伸びているときは　振動の中心からの変位はx-xo
ここで、わかりやすくするために
X(大文字)=x-xoとおくと
この単振動は釣り合いの位置から測った変位Xの関係式で表される単振動ということになります
この位置Xでの復元力(=ばねが縮もうとする力-重力の斜面成分）を調べる
Xでの復元力をFとおけば
F=kX²という関係が導かれるはず
ただし　初め式は、F=○○X²という形で出るはずなので
X²の係数が復元力の比例定数：ｋに相当することになる
単振動の周期の公式：T=2π√(m/K)に当てはめればそれが求めるべき周期

また　釣り合いの位置での速度を求めればそれがVmax
力学的エネルギー保存の法則などいろいろな求め方がある
一例として、位置Xでの斜面方向の運動方程式を立てると
ma=-mω²X＝－ｋX
⇔左辺と中辺の関係から、a=-ω²X これは単振動の加速度
また、中辺と右辺の関係から
ω=√(k/m)
単振動の公式から
a=-ω²X=-Aω²sinωt
ただしAとは自然長から釣り合いの位置までの距離のこと（単振動の振幅）
だから　A=xo
このときの単振動の速度は公式から
V=Aωcosωt
⇔V=xo√(k/m)cosωt
Vmaxはcosωt=1の時だから
Vmax=xo√(k/m)

あとは実際にkをもとめて　周期とVmaxの式へ代入して整理して完了です