なぜ、絶対値を持つ方程式で、場合分けをする際 片方にだけ≧、≧ が入るんでしょうか？どうやって見分け

なぜ、絶対値を持つ方程式で、場合分けをする際
片方にだけ≧、≧ が入るんでしょうか？どうやって見分けるんですか？

2X＋｜X＋1｜＋｜X－1｜＝6

↑この問題で教えてください( ；꒳​； )

No.3 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/10/07 21:24

厳密には

x<-1
と
x=-1と
と
-1<x<1
と
x=1
と
1<xで場合分けすればよいですが
5つの場合に分けるのは面倒でしょ
そこで、＝をどちらかへまとめてしまえるならまとめてしまうのです
今回は
=-1と　=1を統合して
たとえば　x≦-1、-1<x≦1 1<xとしても
x<-1 -1≦x≦1 1<xとしても
x<-1 -1≦x<1 1≦xとしても良いのですが
絶対値の中身が　マイナスになる、または０以上になる　と言うように場合分けするのが標準的です
x+1がマイナスになるのは　x<-1の場合
x+1が０以上になりのは　-1≦xの場合…①
x-1がマイナスになるのは　x<1の場合・・2
x-1が０以上になるのは　1≦xの場合　ですので
①②をまとめると-1≦x<1ですから
x<-1 、-1≦x<1、 1≦xにあけるのが標準的です

この回答へのお礼

ありがとうございました！とてもわかりやすかったです！

お礼日時：2020/10/09 18:24

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/10/09 10:41

絶対値を外すための条件を考えれば

①両側に = が入らない
②両側とも = が入る
③片側だけ = が入る
で
①は場合分けで「境界」が漏れてるけど
②、③は数学的には何の問題もない。

②で解くと、個々の場合の答えを合わせると重複が
現れることがあるけど、たいていはそれで何の問題もない。

重複のない答えを並べたがるのは趣味の問題で、
数学的な要請はないです。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/10/08 12:18

＞ 片方にだけ≧、≧ が入るんでしょうか？

何言うてんのか判り難いな。 おそらく、
x ≧ 0 のとき |x| = x,
x < 0 のとき |x| = -x　であることに起因して
絶対値を外すための場合分けをするとき
場合の切れ目の片側が ≧ になり 片側が > になること
を言うてんのやろが、

そもそも
x ≧ 0 のとき |x| = x,
x ≦ 0 のとき |x| = -x　が成り立つんやから、
そんなん、両側に ≧ を付けといたらええねん。

場合分けは網羅的であればよく、
排他的でないとあかん理由はない。
x < 0 と x ≧ 0 に分けるか
x ≦ 0 と x > 0 に分けるか悩んどるよな暇あったら、
さっさと x ≦ 0 と x ≧ 0 にして
もっと身のあることに頭使え。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2020/10/07 23:11

＞片方にだけ≧、≧ が入るんでしょうか？

両方につけたら、「=」の場合は両方に含まれてしまって、「場合分け」にならないからです。

単に「=」の場合をどちらに含めるか、だけの問題ですから、どちらか一方に決めればよいだけで、どちらにしても結果は変わりません。

「1000円以上持っている人はＡ班に、1000円以下の人はＢ班に行ってください」と言われたら、「1000円ちょうど」の人はどっちに行ったらよいか困りますよね？
「1000円以上持っている人はＡ班に、1000円未満の人はＢ班に行ってください」にするか、
「1000円を超えて持っている人はＡ班に、1000円以下の人はＢ班に行ってください」
にするかのどちらかですね。

「1000円ちょうど」の人がどっちに行こうが、「2班に分ける」ことができればそれでいいんですよ。

No.2 回答者： むらさめ 回答日時： 2020/10/07 21:17

基本的なやり方として、

絶対値の中身　≧　0　←　=　が入る。
絶対値の中身　<　0　←　=　が入らない。

だけです。

2X＋｜X＋1｜＋｜X－1｜＝6　これは3つに場合分けします

・X≧1　の時　｜X－1｜=x-1　と考える
2X＋X＋1＋X+1＝6　
・1>X≧-1　の時　｜X－1｜=-x+1　｜X＋1｜=x+1
2X＋X＋1-X+1＝6
・-1>X　の時　｜X－1｜=-x+1　｜X＋1｜=-x-1
2X-X-1-X+1＝6

あくまで絶対値の中身が　0　より　大か小か　で、≧と>　が決まります。
ひっかけ問題もあるので注意は必要です。

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/10/07 21:16

等号付きの不等号は≧0でも≦0のどちらかについていれば良い。

どちらを採用するかの決まりはないが、複数の絶対値が存在する場合、方程式の中でそろえること。そうしないと間違いをおこすことがある。

今回の問題の場合は、|x+1|と|x-1|の2箇所あるので、≧0を採用すると、

x+1≧0, x+1<0 ⇔ x≧-1, x<-1
x-1≧0, x-1<0 ⇔ x≧1, x<1

となる。

あと、複数の絶対値がある場合、xの範囲で場合分けが必要なことがある。
今回の問題の場合、

x<-1
-1≦x<1
x≧1

に場合分けされる。

あとは、それぞれの場合で絶対値を外して解けば良い。