ガロア理論

2次方程式の解の公式をガロア理論で導出して下さい

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/27 20:13

No.1 が書いてるように、ガロア理論は

解の公式を導出する理論ではありません。
代数方程式の解が、その方程式の係数と
加減乗除と冪根の組み合わせで表示できるか否か
を判定する理論です。
具体的な解の公式はガロア理論では導けません。

それを踏まえた上で、二次方程式について
ガロア理論で何が言えるのか？を見てみましょう。
中学高校の教科書によく出てくる整数係数二次方程式を考えます。
ガロア理論では、代数方程式の係数を体の元として捉えるので、
整係数方程式は有理係数方程式の係数がたまたま整数である場合
として扱います。(整数環の分数体は有理数体なので。)

有理係数二次方程式の解は、[1]有理数だけの場合と
[2]有理数でない解を持つ場合に分けられます。
２つの有理数解を持つ場合も、重解を持つ場合も[1]に、
２つの無理数解を持つ場合も、
２つの虚数解を持つ場合も[2]に含めます。

[1]の場合、方程式の最小分解体は有理数体です。
ガロア拡大が無拡大になりますから、
この方程式のガロア群は単位元だけからなる自明群です。

[2]の場合、方程式の最小分解体は、有理数体に
１個の平方根を添加した一元拡大体です。
ガロア群はその一元 √D を +√D と -√D で入れ替える
巡回群 C₂ になります。

どちらの場合も
方程式のガロア群は可解群(←定義は教科書を参照！)
になっているので、ガロア理論の基本定理により
有理係数二次方程式の解は有理数と加減乗除と冪根の
組み合わせで表示できます。
この考察の対象になるのは、具体的な有理数の係数を
与えた個々の二次方程式です。

方程式の係数体を、有理数体 Q から、それに３個の変数
a,b,c を添加した分数式体 Q(a,b,c) に変えて考えれば、
一般二次方程式 ax²+bx+c=0 の解についても
同様に論じることができ、二次方程式には解公式が存在する
と結論することができます。(それでも、解の公式自体を
導くのは全く別の議論になりますが。)

No.1 回答者： finalbento 回答日時： 2023/12/27 12:10

ガロア理論がやれるのは「解の公式が存在するかどうか」「どのような場合に解の公式が存在するのか」と言った事の説明だけです。

解の公式の具体的な形まではガロア理論では分かりません。