先程、4乗根‪√‬7のQ（‪√‬7）上の最小多項式はx^2－ ‪√‬7と教えていただきました。 しか

先程、4乗根‪√‬7のQ（‪√‬7）上の最小多項式はx^2－
‪√‬7と教えていただきました。

しかし、ここでアイゼンシュタインの既約性判定条件を使うことができないので、、
x^2－√7がQ（‪√‬7）上既約であることをどのように示せば良いでしょうか？

因数分解（x+4‪乗根√‬7）（x－4乗根‪√‬7）=0であるから、xはQ（‪√‬7）上既約であると言って良いのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/10/10 14:00

ああ、Q 上じゃなく Q(√7) 上だったんだね。

先日の私の回答は、誤答だな。失礼。

4‪乗根√‬7 = a + b√7 {a,bは有理数} と表せると仮定する。
両辺を2乗して √7 = a^2 + 2ab√7 + 7b^2.
移項して (1 - 2ab)√7 = (a^2 + 7b^2).
この右辺は a = b = 0 ないとき 0 ではないから、
左辺も 0 ではない。 両辺を (1 - 2ab) で割って、
√7 = (a^2 + 7b^2)/(1 - 2ab).
今度の右辺は有理数なので、√7 が無理数であることの矛盾する。
よって、4‪乗根√‬7 = a + b√7 {a,bは有理数} と表すことはできない。
すなわち、4‪乗根√‬7 は Q(√7) の元ではない。