ベクトルについて。

すみません。以下の問題を座標で考えると簡単と聞いたのですが本当でしょうか？ご教授願います。すみません。写真は、途中まで考えた図です。 一辺が1の立方体の辺上(頂点を含む)に3点P,Q,Rをとる。このとき内積↑PQ·↑PRの最大値、最小値を求めよ。 この問題を教えていただけませんか？すみません。
で、
この配置でよいかを考えてみます。 点Q,Rが辺AE上の点だとすると、内積の絶対値を大きくするにはPQ、PRの長さはできるだけ長い方がよいので、点Aまたは点Eと一致します。よって四角形ABCD、四角形EFGHで考えても問題ありません。 点Q,Rが辺BF,CG,DHだとすると、xy平面とPQ,PRの角度が小さくなります。よって、θは180°に近い角度にはならず、90°以下になる可能性もあります。 よって、上記の通り、四角形ABCD、四角形EFGHの辺上の点で考えてよいことになります。
点Q、Rが辺BF、CG、DHにある図をお願いしたいです。
で、もう一つあってここが一番分かりません。
真上、真下ではなくても、PQ、PRが垂直に近ければ、cosθは-1に近い値になります。 　 つまりこの記述は、θが180°でなくても、その分PQ、PRの長さが長ければ、内積は-1/4よりも小さくなるかもしれない、ということを考慮に入れて解いていますよというアピールです。 このようなことを意図した記述です。
ご教授願います。すみません。

質問者からの補足コメント

• 

  点P、Rが辺BF、CG、DHにある図はこれで合っていますでしょうか？ご教授願います。すみません。
  それと、PQPRが垂直に近ければ、ということは、θが、89°や91°みたいなことでしょうか？それと、
  なぜ、PQ、PRの長さが長ければ、内積はー1／4よりも小さくなる可能性があるのでしょうか？なぜ、そのことをアピールしているのでしょうか？以下のURLに写真を貼っておきます。教えていただけないでしょうか？
  https://6900.teacup.com/cgu135/bbs/893

    補足日時：2020/10/17 13:14

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/10/17 19:45

訂正です

A=(0,0,1)
B=(1,0,1)
C=(1,1,1)
D=(0,1,1)
E=(0,0,0)
F=(1,0,0)
G=(1,1,0)
H=(0,1,0)
P=(0,0,t)
Q=(u,v,w)
R=(x,y,z)
0≦t≦1
0≦u≦1
0≦v≦1
0≦w≦1
0≦x≦1
0≦y≦1
0≦z≦1
とすると
内積
↑PQ・↑PR
=(Q-P)・(R-P)
=(u,v,w-t)・(x,y,z-t)
=ux+vy+(w-t)(z-t)

0≦ux≦1
0≦vy≦1
-1≦w-t≦1
-1≦z-t≦1
(w-t)(z-t)≦1
だから
ux+vy+(w-t)(z-t)≦3
↓↑PQ・↑PR=ux+vy+(w-t)(z-t)だから
↑PQ・↑PR≦3

u=v=w=x=y=z=1
t=0
P=(0,0,0)
Q=R=(1,1,1)
の時
最大値
↑PQ・↑PR=ux+vy+(w-t)(z-t)=1*1+1*1+(1-0)(1-0)=
3
となる

↑PQ・↑PR
=ux+vy+t^2-(w+z)t+wz
=t^2-(w+z)t+wz+ux+vy
={t-(w+z)/2}^2-(w+z)^2/4+wz+ux+vy
={t-(w+z)/2}^2-(w-z)^2/4+ux+vy

0≦z≦1
-1≦-z≦0
0≦w≦1
-1≦w-z≦1
|w-z|≦1
|w-z|^2≦1
|w-z|^2/4≦1/4
-|w-z|^2/4≧-1/4

{t-(w+z)/2}^2≧0
ux≧0
vy≧0
だから
{t-(w+z)/2}^2-(w-z)^2/4+ux+vy≧-1/4

↓↑PQ・↑PR={t-(w+z)/2}^2-(w-z)^2/4+ux+vyだから

↑PQ・↑PR≧-1/4

u=v=x=y=z=0
w=1
t=1/2
P=(0,0,1/2)
Q=(0,0,1)
R=(0,0,0)
の時
最小値
↑PQ・↑PR=ux+vy+(w-t)(z-t)=0*0+0*0+(1-1/2)(0-1/2)=
-1/4
となる

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/10/17 14:53

A=(0,0,1)

B=(1,0,1)
C=(1,1,1)
D=(0,1,1)
E=(0,0,0)
F=(1,0,0)
G=(1,1,0)
H=(0,1,0)
P=(0,0,t)
Q=(u,v,w)
R=(x,y,z)
0≦t
0≦u≦1
0≦v≦1
0≦w≦1
0≦x≦1
0≦y≦1
0≦z≦1
とすると
内積
↑PQ・↑PR
=(Q-P)・(R-P)
=(u,v,w-t)・(x,y,z-t)
=ux+vy+(w-t)(z-t)

0≦ux≦1
0≦vy≦1
-1≦w-t≦1
-1≦z-t≦1
(w-t)(z-t)≦1
だから
ux+vy+(w-t)(z-t)≦3
↓↑PQ・↑PR=ux+vy+(w-t)(z-t)だから
↑PQ・↑PR≦3

u=v=w=x=y=z=1
t=0
P=(0,0,0)
Q=R=(1,1,1)
の時
最大値
↑PQ・↑PR=ux+vy+(w-t)(z-t)=1*1+1*1+(1-0)(1-0)=
3
となる

↑PQ・↑PR
=ux+vy+t^2-(w+z)t+wz
=t^2-(w+z)t+wz+ux+vy
={t-(w+z)/2}^2-(w+z)^2/4+wz+ux+vy
={t-(w+z)/2}^2-(w-z)^2/4+ux+vy

0≦z≦1
-1≦-z≦0
0≦w≦1
-1≦w-z≦1
|w-z|≦1
|w-z|^2≦1
|w-z|^2/4≦1/4
-|w-z|^2/4≧-1/4

{t-(w+z)/2}^2≧0
ux≧0
vy≧0
だから
{t-(w+z)/2}^2-(w-z)^2/4+ux+vy≧-1/4

↓↑PQ・↑PR={t-(w+z)/2}^2-(w-z)^2/4+ux+vyだから

↑PQ・↑PR≧-1/4

u=v=x=y=z=0
w=1
t=1/2
P=(0,0,1/2)
Q=(0,0,1)
R=(0,0,0)
の時
最小値
↑PQ・↑PR=ux+vy+(w-t)(z-t)=0*0+0*0+(1-1/2)(0-1/2)=
-1/4
となる

この回答へのお礼

なぜ、0≦tなのでしょうか？0≦t≦1ではないのでしょうか？ご教授願います。すみません。

お礼日時：2020/10/17 18:22