正三角形ABCの内部にある点をPとする。PA=1,PB=2,∠APB=120°のとき、PC=( )である。
(早稲田大)
解答
△ABPに余弦定理を用いると
AB²=PA²+PB²-2PA・PBcos∠APB
=1² +2² -2・1・2・(-1/2)
=7
∴AB=√7
ここで、APの延長と辺BCの交点をDとすると
∠ABD=∠BPD=60°
∠BDA=∠PDB
より、△ABD∽△BPDであり、BD=x、 PD=yとおくと
BD : PD = DA : DB = AB : BP←
∴ x : y =(y+1) : x = √7 : 2
であるから
2x = √7y
2(y + 1)=√7x
∴ x = 2√7/3 , y= 4/3
これより、△BPDに余弦定理を用いると
cos∠PBD = BP² +BD² - PD² / 2BD・BD
= 2² + (2√7/3)² - (4/3)² / 2・2・2√7/3
= 2√7 / 7
そして△ABCは正三角形なので
BC= AB =√7
であるから、△BCPに余弦定理を用いると
PC² = BP² + BC² - 2BP・BCcos∠PBC
= 2² + (√7)² - 2・2・√7・2√7/7
= 3
∴PC=3
解答9行目のAB : BPの意味がわかりません。なぜこうなるのですか?
解説よろしくお願いします。
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