答えが1/2がいらないはずなのですが、自分の計算だと絶対1/2がでてきます どこが間違っているのです

答えが1/2がいらないはずなのですが、自分の計算だと絶対1/2がでてきます

どこが間違っているのですか？

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/10/20 20:58

間違いではありません

その(1/2)は積分定数の1部
C=log(1/2)+c
となります
log[(1/2){x+√(x^2+4)}]+c
=log{x+√(x^2+4)}+log(1/2)+c
↓C=log(1/2)+cとする
=log{x+√(x^2+4)}+C

∫{1/√(x^2+4)}dx
x=e^t-e^(-t)
とする
dx={e^t+e^(-t)}dt
x^2={e^t-e^(-t)}^2
x^2=e^(2t)+e^(-2t)-2
4+x^2=e^(2t)+e^(-2t)+2
4+x^2={e^t+e^(-t)}^2
√(x^2+4)=e^t+e^(-t)
1/√(x^2+4)=1/{e^t+e^(-t)}
{1/√(x^2+4)}dx=dt
∫{1/√(x^2+4)}dx=∫dt
∫{1/√(x^2+4)}dx=t+c
2e^t=x+√(x^2+4)
e^t={x+√(x^2+4)}/2
t=log[{x+√(x^2+4)}/2]
∫{1/√(x^2+4)}dx
=log[{x+√(x^2+4)}/2]+c
=log{x+√(x^2+4)}-log2+c
=log{x+√(x^2+4)}+c-log2
↓C=c-log2とすると
=
log{x+√(x^2+4)}+C

No.5 回答者： cage64 回答日時： 2020/10/20 19:40

微分してみました？

結果は間違ってませんよ。
log だとこういう勘違いは多いです。
log(ab)=log(a)+log(b) で、log(1/2)も定数です。

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/10/20 18:14

「1/2がいらない」となぜ思った?

No.3 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2020/10/20 17:27

あ、最初+4か、、、

なら、何か間違っているな、
ANo１無視してください

No.2 回答者： バラキン 回答日時： 2020/10/20 16:49

すみません、こう言うよくある形の問題は何回も置換して分からなくなるより、置換方法を覚えておいた方がいいです。

高校生という事で、
1/√(x^2+A)の積分だったら
t=x+√(x^2+A)で置換します
半分公式みたいな感じで覚えています。
よく見る形なので他の積分の形も同様に覚えておいたら、受験の時時間短縮に繋がります

大学生であれば、x=(√A)sinhtと置換して解く場合が多いかなと。

なので、途中式見てません。教師から画像の通りやれって言われてたらすみません。
スルーしてください

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2020/10/20 16:48

x=tanθ

dx=(1/cos²θ)dθ
⇒
∫(1/cosθ)dθ
=∫(1/2)[(cosθ/(１+sinθ)+(cosθ/(1-sinθ))]
＝(1/2)log[(1+sinθ)/(１-sinθ)]+C
=(1/2)log[(1+sinθ)²/cos²θ]+C
=log[(1+sinθ)/cosθ]+C
=log[√(1+ｘ)+x]+C

あ・・・
一番最初の置き換えのところがちがうのかな？
1/cosθ＝cosθ/cos²θ＝cosθ/(１-sin²θ)＝cosθ/(1+sinθ)(１-sinθ)=（cosθ/２）[(１+sinθ)+(cosθ/(1-sinθ)]