この問題の式と答え教えてください！ ある大学に入学してくる学生の、高校3年次の数学の総合評価X(10

この問題の式と答え教えてください！
ある大学に入学してくる学生の、高校3年次の数学の総合評価X(100点満点)は、過去5年間の統計で、平均は62点、標準偏差は18であった。今年の新入生もこの結果に従うと仮定して、次の問に答えよ。

(1)55人を無作為に選んだ時、平均エックスバーが65点以上になる確率を求めよ。

(2)120人を無作為に選んだ時、Pa(a<エックスバー)＝0.056を満たすaを求めよ。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/10/28 14:44

(1) 55人を無作為に選べば、その平均は「母集団の平均：62点」の周りに分布します。

そして、中心極限定理から、そのサンプル平均の分散は σ^2 /n になります。（ここの詳しい説明はテキストでも見てください）
つまり、サンプル平均の標準偏差（標準誤差）は
　σ/√n = 18/√55
ということです。

ここで
　Z = (X - 62)/(18/√55)
という規格化をすれば、Z は標準正規分布します。
従って、X=65 に対する
　Z = (65 - 62)/(18/√55) ≒ 1.236
から、P(1.236≦Z) となる確率を標準正規分布表から読み取れば
　P(1.236≦Z) ≒ P(1.24≦Z) = 0.107488 ≒ 0.11
ということで、約11%。

↓　標準正規分布表
https://staff.aist.go.jp/t.ihara/normsdist.html

(2) 同様に、120人を無作為に選べば、その平均の期待値は 62点で、標準偏差（標準誤差）は
　18/√120
になります。

標準正規分布に規格化するには
　Z = (X - 62)/(18/√120)
とすればよく、これが
　P(b<Z) = 0.056
となる b は、標準正規分布表から
　b ≒ 1.59
と読み取れます。

従って、
　Z = (a - 62)/(18/√120) = b = 1.59
となる X(=a) は
　a = 1.59 * (18/√120) + 62 ≒ 64.6

この回答へのお礼

遅くなってしまいすいません！ご丁寧にありがとうございますm(_ _)m

お礼日時：2020/11/03 09:34