行列の正則について

この行列が正則かどうかはどう判断しますか
A＝ [1.，1，-1，-2]
......[-2 ，1，2，１]
......[0 ，-1，-3，-1]
......[-2 ，0，-1，0]

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/10/29 19:29

|A| を計算してごらんよ。

第１行の２倍を第２行に足す。
第１行の２倍を第４行に足す。
第１列で余因子展開する。
...を行うと、 1 掛ける
　　 3　　 0　　-3
　　-1　　-3　　-1
　　 2　　-3　　-4
になる。これに更に、
第１列を第３列に足す。
第１行で余因子展開する。
...を行うと、 3 掛ける
　　-3　　-2
　　-3　　-2
となって、結局 |A| = 1×3×0.

|A| = 0 だから A は正則ではない。

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2020/10/31 20:44

企業で統計を推進する立場の者です。

#1さん#2さんの言っていることを補足すると、

『正則行列とはm×mの正方行列で、0でない実固有値を持つ。また、その逆行列が存在する。』です。そして、行列Aの逆行列は、

A^-1＝1／det(A) × (余因子行列)

ですから、行列式det(A) （|A|とも書きます）が0でなければ、逆行列が存在できます。よって、det(A)を調べれば良いのです。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/10/30 10:04

掃き出しで上三角化してランクが４か見る。

あるいは掃き出しで零を増やしてから余因子展開で
行列式を求める。この問題で手計算だと 小行列サイズを 3x3 まで
落としてサラスの公式かな。

因みに
掃き出しでは計算量のオーダーが O(n^3) であるのに対し
行列式を定義通りに計算すると、計算量のオーダーは O(n!)
なので、計算量はnが大きくなると掃き出しの方が遥かに少なくなります。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/10/29 18:52

逆行列が存在するかどうかで判断する.

のは面倒なので行列式を計算するけど.