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質問者：りき。。。
質問日時：2020/11/04 01:56
回答数：2件

一時間当たりのX市での事件の件数Xが平均一件のポアソン分布に、Y市での事件の件数Yが平均4/3のポアソン分布にそれぞれ独立に従う。このとき以下の確率を求めよ。
ポアソン分布における確率変数X,Yは０以上の整数値しかとらない。

500X > 2050

X+2Y <= 3

解き方が分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

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回答 (2件)

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No.1ベストアンサー

回答者：ありものがたり
回答日時：2020/11/04 08:18

平均 λ のポアソン分布に従う確率変数 X が値 k をとる確率は、

Prob[X=k] = P(λ,k) = (e^-λ)(λ^k)/k!

(1)
X が整数値しかとらないことから、
500X > 2050 ⇔ X ≧ 41.
よって、
Prob[500X>2505] = Prob[X≧41]
　= 1 - Prob[X≦40]
　= 1 - Σ[k=0〜40] P(1,k)
　= 1 - Σ[k=0〜40] (e^-1)(1^k)/k!
　= 1 - (1/e) Σ[k=0〜40] 1/k!

最後の Σ は、適当な公式もないので
地道に展開して計算するしかない。
ちょっと勘弁なので、PC にやらせてみたが、
既約分数の分子分母が 50 桁くらいになる。
近似計算、それも PC でやるほうが順当だろうと思う。

(2)
X, Y が整数値しかとらないことから、
X+2Y ≦ 3 ⇔ (Y,X) = (0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (1,0), (1,1).
X, Y が独立であることから、
Prob[X+2Y≦3] = Prob[Y=0,X=0] + Prob[Y=0,X=1] + Prob[Y=0,X=2]
　　　　　　　　　　　　　　　+ Prob[Y=0,X=3] + Prob[Y=1,X=0] + Prob[Y=1,X=1]
　= Prob[Y=0]Prob[X=0] + Prob[Y=0]Prob[X=1] + Prob[Y=0]Prob[X=2] + Prob[Y=0]Prob[X=3]
　　+ Prob[Y=1]Prob[X=0] + Prob[Y=1]Prob[X=1]
　= Prob[Y=0]{ Prob[X=0] + Prob[X=1] + Prob[X=2]　+　Prob[X=3]　}
　　+ Prob[Y=1]{ Prob[X=0] + Prob[X=1] }
　= P(4/3,0){ P(1,0) + P(1,1) + P(1,2) + P(1,3) }
　　+ P(4/3,1){ P(1,0) + P(1,1) }
　= { (e^-4/3)((4/3)^0)/0! }{ (e^-1)1/0! + (e^-1)1/1! + (e^-1)1/2! + (e^-1)1/3! }
　　+ { (e^-4/3)((4/3)^1)/1! }{ (e^-1)1/0! + (e^-1)1/1! }
　= (e^-4/3)1(e^-1){ 1/1 + 1/1 + 1/2 + 1/6 }
　　+ (e^-4/3)(4/3)(e^-1){ 1/1 + 1/2 }
　= (14/3)/e^(7/3).

こっちは、ギリ手計算できる範囲かなあ。