最速降下曲線の答えがサイクロイド曲線

だ、そうです。

でも最速は自由落下ですよね。邪魔が無いんだから。
だったら、下に真っすぐの曲線（つまり下向き真っすぐの直線）が最も短い時間でボールが転がり抜ける（転がらないけど）のでは？
転がることが条件だったら、ホンの少しだけ角度の付いた、坂道でいうなら勾配999999%トカの下り坂にすれば

もしかして時間が最も短いじゃなくてボールの速さ？
だとしても自由落下が最速では

質問者からの補足コメント

• あゴメ
  
  https://juken-mikata.net/how-to/mathematics/cycl …
  によるとx,yは任意には決められませんよ。
  出発点は(0,0)だとして、到達点がx,y=π,2だったらいい（a=1の場合）けど、もしx,y=π,1だったらサイクロイド曲線にならないですよね。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/11/04 04:49

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/11/04 02:35

かくにん.

あなたのいう「最速降下曲線」って, どういうもの?

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/11/04 03:32

出発点と到達点が「決められていて」、玉が最短時間で出発点から

到達点まで転がるための坂の形状を求めるのが
最速降下曲線問題。

この回答へのお礼

なるほど、そうゆうことね

お礼日時：2020/11/04 04:44

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/11/04 06:02

>

https://juken-mikata.net/how-to/mathematics/cycl …
>によるとx,yは任意には決められませんよ。

到達点を通るように、aを調整すればOK。
円が半回転したところが到達点じゃないよ。

この回答へのお礼

そのHPによると
x=a(θ-sin θ)
y=a(1-cos θ)

この二つの式でx,yを定めるとa,θが一意に決まるということでしょうか？
解けるの？

お礼日時：2020/11/04 08:59

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/11/04 09:57

>この二つの式でx,yを定めるとa,θが一意に決まるということでしょうか？

>解けるの？

作図でやるなら
①開始点O=(0, 0) から到達点Dを通る直線を引く。
OD の長さ = L とする。
②a=1 でサイクロイドを描く。①との交点を Q とする。
③OQ の長さを測る。OQ の長さ = N とする
④ a = L/N としてサイクロイドを描く。

これでサイクロイドは D を通ります。

これは、a が、原点を中心とするサイクロイドのスケールファクタなので
相似を利用すれば、aが簡単に決定できるということ。
実際図を描いてみれば一目瞭然ですよ。

計算で N を求めるには、ニュートン法などの数値計算が
必要でしょうね。

この回答へのお礼

ちょっと難しすぎるので諦めました。

お礼日時：2020/11/07 03:47

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/11/07 07:32

あきらめ早いですね。

よい図が有ったのでこれを使うと(yの符号が逆だけど)

図でBが到達点。Cがa=1のサイクロイドとの交点とすると
AB/AC=a とすればBを通るサイクロイドとなる。
サイクロイドはaに比例して原点を中心に相似に変化
するので、aがABとACの比で求まります。
簡単明瞭

この回答へのお礼

いや、作図は諦めたです　定規とかコンパスとか無いから
数値が求まればよかった
Maximaだと

(%i1)load("mnewton")$
(%i2)mnewton([%pi=a*(th-sin(th)),1=a*(1-cos(th))],[a,th],[1,%pi]);
(%o2) [[a=0.63732624040013,th=4.107032654366673]]

ニュートン法しかないってことだったから、実際そうしてみた
a,thの組み合わせは、x,y=π,1ならこれしかないって分かり実際の数字が出てくればいいだけだったから。

しかし、回答者さんアタマいいね

お礼日時：2020/11/07 10:16