x’∈{x∈X|x=x}⇔x’∈X∧x’=x’ですが、 (x_1,x_2)∈{(x,x)∈X×X|(

x’∈{x∈X|x=x}⇔x’∈X∧x’=x’ですが、
(x_1,x_2)∈{(x,x)∈X×X|(x,x)＝(x,x)}
⇔(x_1,x_2)∈X×X∧(x_1,x_2)=(x_1,x_2)とは限りません。

(x_1,x_2)∈{(x,x)∈X×X|(x,x)＝(x,x)}⇔x_1=x_2∧x_1∈Xを示せますか？

No.2 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2020/11/15 10:51

No.1のついでに、

> x’∈{x∈X|x=x}

　これも、x=xはナンセンスなので取り除いて、縦棒 | の左に変なものがあるのを移動して
　　x’∈{y | ∃x(y=x ∧ x∈X)}
となるわけですが、
　　∀y(∃x(y=x ∧ x∈X) ⇔ y∈X)
は明らか。なので、
　　x’∈{y | y∈X}
と同じことになります。で、この集合をYと書くと、
　　∀s(s∈Y ⇔ s∈X)
が容易に分かりますから、結局
　　Y=X
です。だから最初から
　　x’∈X
と書けば良かったんですね。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2020/11/15 11:21

No.3 回答者： cage64 回答日時： 2020/11/15 10:55

>{(x,x)∈X×X|(x,x)＝(x,x)}

が変です。この書き方なら、XxXの元についての条件を述べるはずなのに、既に特別なXxXの元を対象としているからです。意味があるかどうかは別として、
{(x,y)∈XxX|(x,y)=(x,y)}
とするか、
{(x,y)∈XxX|x=y}
とするか、どちらかにすべきで、後者なら
(x_1,x_2)∈{(x,y)∈X×X|x=y}⇔x_1=x_2∧x_1∈X
がいえます。

高校では、束縛変数についてきちんと学ばないので、変数について、条件なのか、条件なら何についての条件なのか、条件ではないなら、どのように束縛されているのか、を明確にするようにしてください。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2020/11/15 10:23

最初の3行は本題に関係ない話でしょうから飛ばして、

> (x_1,x_2)∈{(x,x)∈X×X|(x,x)＝(x,x)}

　この (x,x)＝(x,x) という述語は、xが何だろうと常に真なので、書いても全く意味がない。だから、
　　(x_1,x_2)∈{(x,x)∈X×X|　}
と書いたのと同じですが、これじゃ何だか変でしょう。それは、縦棒 | の左に勝手なもの書き込んでるから。正しくは {y|P(y)}（ただしP(y)は述語）という形でなくちゃ。

　ご質問の場合には、P(y)は
　　∃x(y=(x,x) ∧ x∈X)
という述語で、すなわち
　　(x_1,x_2)∈{y|∃x(y=(x,x) ∧ x∈X)}
と書く。このように設問の式が正しく書けていれば
　　P((x_1,x_2)) ⇒ (x_1=x_2∧x_1∈X)
は自明ってことです。

　あるいはどうしてもX×Xを持ち出したいんなら、P(y)を
　　∃x(y=(x,x)) ∧ y∈X×X
としても同値には違いないが、∃x(y=(x,x) ∧ x∈X)を証明しなくちゃならん手間の分だけ回りくどくなっただけ。