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いまnを3以上の自然数、mを自然数とする。
f(n)を「nと互いに素でnよりも小さい自然数の個数」と定義します。
f(6)なら、1、2、3、4、5のなかで互いに素なのは、1、2、4、5の4個よりf(6) = 4です。
さてm<nのときにmとnが互いに素なら、n-mとnも互いに素です(これは証明されたとします)
このときf(n)が偶数であることを証明します。
------------
k∈Nとして
n = 2k+1のとき
{1、2・・k}の集合をA
{k+1、k+2・・2k}の集合をBとする。集合Aでnと互いに素な自然数をrとすると、
1≦ r ≦ k ⇔ n-k ≦ n-r ≦ n-1 ⇔ k+1≦ n-r ≦ 2kより互いに素なn-rは必ず集合Bに存在するので、集合Aの互いに素な個数とBの個数は同数なので、f(n)は偶数になる
n = 2k+2のとき
{1、2・・k}の集合をA
{k+2、k+2・・2k+1}の集合をBとする。
{k+1}の集合をCとする
集合Cにおいて、n =2(k+1)とk+1は因数としてk+1(≧2)を持つので互いに素ではないのは
明らか。
集合Aでnと互いに素な自然数をrとすると、
1≦ r ≦ k ⇔ n-k ≦ n-r ≦ n-1 ⇔ k+2≦ n-r ≦ 2k+1より互いに素なn-rは必ず集合Bに存在し、さきほどと同じ議論になるので、f(n)は偶数になる
qed
で何か誤りがあるかね?
A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
そもそも何を証明したいのかがわからん.
「このとき」ってあるから「mとnが互いに素のとき f(n) が偶数」を証明するの? もしそうだとしたら, m はどう選べばいい?
No.1
- 回答日時:
> 互いに素なn-rは必ず集合Bに存在するので、
というだけじゃ
> 集合Aの互いに素な個数とBの個数は同数なので
とは言えないっしょ。こういう飛躍が残っていると、証明としてカンペキではない。
集合
a={r |r∈A かつ nとrは互いに素}
b={x |x∈B かつ nとxは互いに素}
を考えると分かり易いでしょう。
(1) 「aからbへの対応が存在する」ということは、ご質問に記載の証明で言えている。
しかし、その「対応」によって「r(r∈a)に対応するx(x∈B)が、p(p∈a, p≠r)にも対応する、ということはない」ということが明示されていない。つまり【aからbへの単射が存在する】ということを証明できていない。
これを明示して初めて、bの要素の個数|b|と、aの要素の個数|a|について
|b|≧|a|
であることが言える。
しかし、これじゃご質問の証明を完遂するにはまだ不足ですね。
(2) 証明すべきは【aからbへの全単射(1:1対応)が存在する】ということ。これを証明すれば、
|b|=|a|
であると言える。
この回答への補足
f(6)なら、1、2、3、4、5のなかで互いに素なのは、1、2、4、5の4個よりf(6) = 4です。
------
ここ訂正、
f(6)なら、1、2、3、4、5のなかで互いに素なのは、1、5の2個よりf(6) = 2です。
------
ああ、わかった。前半だけ考えて終わりじゃだめなのね。Aの元に対応していないものもあるかもしれないね。そっか。
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