f(x)=(x^2+1+|6x-8|)/{2(x^2+1)}の極値について

x<4/3の時
f'(x)=(3x+1)(x-3))/(x^2+1)^2
x≧4/3の時
f'(x)=　－(3x+1)(x-3))/(x^2+1)^2

f'(x)=0になるのはx=-1/3,3で極大ですが
解答で　x=3/4のときf'(x)存在しないとなってます。
（極小値は存在）
この時f'(x)存在しないというのはどうやって記述すれば
よいのでしょうか？
どなたかご教授ください。お願いいたします。

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/11/20 00:45

f’(4/3) が存在しないことの

記述のしかたじゃなくて、見つけかたの話？

本音をいえば、6x-8 の正負が変わるところで
グラフに折れめができるだろなってのが予測できるから。
形式的には、lim[h→+0]{f(4/3+h)-f(4/3)}/h と
lim[h→-0]{f(4/3+h)-f(4/3)}/h の値が異なるから
だけど、そんなもん、あらかじめ予測がついてないと
計算してみたりしないからね。

答案の記述としては、f(x) の増減表を書いて
増減が変わるとこがここにある！と極値点を示せばよいが、
実は、増減表より先にグラフの概形が見えていて、
x<4/3 のとき f(x)=(x^2+1-(6x-8))/{2(x^2+1)},
x≧4/3 のとき f(x)=(x^2+1+(6x-8))/{2(x^2+1)}
であることから x=4/3 に折れめがあることは
計算する前から折り込み済みなわけ。

この回答へのお礼

式変形してあらかじめグラフを予想するのですね。丁寧な説明ありがとう
ございます。

お礼日時：2020/11/20 00:50

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/11/20 00:16

極値点で微分可能である必要は特に無い。

y=|x| で x=0 が極小点なのは解る？
なので、x=3/4 のとき f’(x) が存在しないことを
わざわざ記述する理由も無い。ほっときゃいいよ。

微分不能な点を含む関数の極値について語るのは
なかなか厄介だから、くどくど文章にせずに
増減表で一目瞭然にしてしまえばいい。
その際、x=3/4 での f’(x) の欄はペケでも書いとくかな。

この回答へのお礼

早速の回答ありがとうございます。すいません。聞きたいのはどうやってx=3/4がf'の不存在になるとすぐわかるのかということです。絶対値の中が０になるという
ことなのでしょうか？こういう問題で（増減表
グラフの概形、極値）どうやって見つけたらいいのでしょうか？（もしf'が不存在になる条件はいくつか
きまっていてそれを確認しさえすれば不存在点が
わかるというのがあるんでしょうか）

お礼日時：2020/11/20 00:24