【高校物理/力学的エネルギー】 Ｑ．おもりをバネで吊るして手で支える。 自然長の状態から、おもりに初

【高校物理/力学的エネルギー】

Ｑ．おもりをバネで吊るして手で支える。
　　自然長の状態から、おもりに初速を与えないように
　　手をそっと離す。このとき、つり合いの位置をおもり
　　が通過する際の速さを求めよ。
　　(つり合いの位置とは手を離してバネがつり合って
　　 静止している時の位置のことである)

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　おもりの重さをm[kg]、バネ定数をk[N/m]、重力加速度をg[m/s²]、はじめ手で支えていた時の高さをh[m]、つり合いの位置のときのバネの自然長からの伸びをx[m]、速さをv[m/s]とすると、つり合いの位置における高さはh－x[m]であるので、エネルギー保存則より、
　mgh＝½—mv²＋mg(h－x)＋½—kx²
となりますでしょうか。
それとももっと簡単な求め方があるのでしょうか。
教えてくださる方いらっしゃいますか。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/11/20 23:03

No.1 です。

失礼しました。問題の条件が違っていましたね。

#1 に書いたのは、「手でばねを引っ張って、一定位置で保持して、そこで手を放す」という条件でした。

そうではなく、手でおもりを「ばねの自然長」で保持して、そこから手を放すということですね。

その場合には

(1) はじめ手で支えていたとき＝ばねの自然長
・位置エネルギー：0
・運動エネルギー：0
・バネの弾性エネルギー：0

(2) つり合いの位置を通過するとき
・位置エネルギー：-mgx
・運動エネルギー：(1/2)mv^2
・バネの弾性エネルギー：(1/2)kx^2

「力学的エネルギー保存」より、この２つのエネルギーが等しいので

　0 = -mgx + (1/2)mv^2 + (1/2)kx^2　　　①


(1) の位置を、床あるいは地面からの高さ h とすれば、

(1) はじめ手で支えていたとき＝ばねの自然長
・位置エネルギー：mgh
・運動エネルギー：0
・バネの弾性エネルギー：0

(2) つり合いの位置を通過するとき
・位置エネルギー：mg(h - x)
・運動エネルギー：(1/2)mv^2
・バネの弾性エネルギー：(1/2)kx^2

で、「力学的エネルギー保存」より、この２つのエネルギーが等しいので

　mgh = mg(h - x) + (1/2)mv^2 + (1/2)kx^2　　　②

となって、これは質問者さんの立式と同じです。

②の mgh を移項して消去すると①なりますね。

この回答へのお礼

変形したら一緒になるのは当然かもしれないですけど、位置の基準(0のところ)をバネの自然長のときのおもりの位置にして、バネが伸びた時の位置エネルギーを負の値とすることで最初の立式がこんなにも変わるのですね！位置の基準を自由にしていいのは理解し知っているのですがその発想はありませんでした…。
とてもためになりました。ありがとうございます。

お礼日時：2020/11/20 23:10

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2020/11/20 22:51

＞はじめ手で支えていた時の高さをh[m]

は高さの基準点が不明だから定義できないので、

「はじめ手で支えていた時のばねの自然長からの伸び：L[m]」

とすべきでしょう。

その上で、あなたの考え方は、「ばねの自然長（おもりをつるす前の長さ）」を基準にしていますから

(1) はじめ手で支えていたとき
・位置エネルギー：-mgL
・運動エネルギー：0
・バネの弾性エネルギー：(1/2)kL^2

(2) つり合いの位置を通過するとき
・位置エネルギー：-mg(L - x)
・運動エネルギー：(1/2)mv^2
・バネの弾性エネルギー：(1/2)kx^2

ということになります。
「力学的エネルギー保存」より、この２つのエネルギーが等しいので

　-mgL + (1/2)kL^2 = -mg(L - x) + (1/2)mv^2 + (1/2)kx^2


あなたの立式では、「ばねの弾性エネルギー」の基準が「バネのつり合いの位置」になっているので間違いです。
「バネのつり合いの位置」そのものが、バネの自然長にあるときの「おもりの位置エネルギー」が「バネの弾性エネルギー」に等しくなった長さですから。

また、「位置エネルギー」はバネが最も伸びているときが一番小さく、おもりが上に行くほど大きくなります。
あなたの立式では逆になってるように見えます。