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画像は内田伏一著の集合と位相から引用しています。これはアスコリアルツェラの定理の証明からの引用で、このS(k1,...km)という集合を考える動機が理解出来ませんでした。解説頂けると嬉しいです。

「画像は内田伏一著の集合と位相から引用して」の質問画像
gooドクター

A 回答 (1件)

まだ回答を募集しているかはわかりませんが…



このS(k1,…km)はその前にとったXの開被覆(U1,x1),…,(Um,xm)に対応する性質を持った集合になります。
この開被覆(U1,x1),…,(Um,xm)のイメージを語る上で、X=[0,1]と考えてもらうとわかりやすいと思います。
R^2を間隔ε/4の横線で分割したとします。このとき、{(x,y):0≤y≤ε/4}や{(x,y):kε/4≤y≤(k+1)ε/4}のような横長の帯ができます。この帯をそれぞれ0の帯、kの帯、と呼ぶことにしましょう。
例えば-1の帯は{(x,y):-ε/4≤y≤0}です。
このときに、同程度連続より任意の点x∈Xに対してある区間Uを適切に取れば任意の関数fがその区間内で帯から出ないようにできます。(|f(x)-f(y)|<ε/4)
xをX全体で動かしてUの和集合を取るとこれはXの被覆になり、コンパクト性から有限個の区間U1,…,Umが取れるわけです。
ですが、横線をまたがないだけでどの帯にいるかは関数によってそれぞれです。ある関数fはU1では0の帯に収まる(0≤f(x)≤ε/4)けども他の関数gは-1の帯に収まる(-ε/4≤g(x)≤0)という状況です。
なので、どの帯にいるか、というもので関数の集合Sを分類することをします。それがS(k1,…km)です。
f∈S(k1,…km)とは、fがUi内ではkiの帯に収まる、ということを表しています。
いまSは一様有界であることから|f(x)|<∞が導かれ、Sが有限個のS1,…,Snに分けられます。
このように分類することでSを性質の良いSiに分類でき、それらをε開球で覆う見通しがつきます。

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