行列のｎ乗を求めることの逆

数学の線形代数で、行列Aの固有値と固有ベクトルを求めてｎ乗を求めるのははじめのほうに出てきます。
逆に、行列のｎ乗というか、各成分がｎの成分になっていて、Λを対角行列として、
　　A=P Λ^n P^(-1)
にPとΛに分解することは可能でしょうか。

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/12/28 20:21

Λ が対角行列のとき Λ^n も対角行列になりますから、

まづは A が対角化可能である必要がありますね。
例によっていつもの、Λ の各固有値がその重複度と
同じ次元の固有空間を持つことが条件です。

Λ を複素成分で考えているなら、
これだけで必要十分条件。
Λ^n の n 乗根は、対角成分の n 乗根をとればいいです。
0 でない対角成分ごとに n 個の選択肢がありますから、
Λ は非常にたくさんの種類があることになります。

A, Λ を実成分で考えているなら、
n が偶数の場合には、これに加えて
A の固有値がどれも非負である必要があります。
そうでないと n 乗根がとれませんからね。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2020/12/27 22:13

何言ってんだかわからんが、もしかして、X=P Λ P^(-1) のとき、（Λが対角行列かどうかは関係なしに）n>0について

X^n = (P Λ P^(-1))^n
= P ((Λ P^(-1) P)^(n-1)) Λ P^(-1)
=P (Λ^(n-1)) ((P^(-1) P)^(n-1)) Λ P^(-1)
=P (Λ^(n-1)) Λ P^(-1)
=P (Λ^n) P^(-1)

という話をしているのかな？

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/12/27 19:39

何をしたいのかわからないんだけど, 「行列Aの固有値と固有ベクトルを求めてｎ乗を求める」のが理解できているなら本質は同じこと... といっていいのかなぁ.

「各成分がｎの成分になっていて～分解する」が何をしたいのかわからないんだけど.

この回答へのお礼

コメントありがとうございます。
　　　P Λ^n P^(-1)
を計算してしまったら、何のことか分からないので、分解したいのです・・・。

お礼日時：2020/12/27 20:12