多様体 位相空間 A,Bを異なる(抽象的な)点として、集合S=(R\{0})∪{A,B}とする。A,

多様体　位相空間

A,Bを異なる(抽象的な)点として、集合S=(R\{0})∪{A,B}とする。A,Bは抽象的なSの元で、A,B∈/{0}である。このとき、Sは局所ユーグリッド空間であるが、ハウスドルフ空間でないことを証明して頂きたいです。

質問者からの補足コメント

• このとき、c、d>0に対して、Aを含む開区間をI_[A](−c,d)=(−c,0)∪{A}∪(0,d)によって定める。
  
  同様に B を含む開区間をI_[B](−c,d)=(−c,0)∪{B}∪(0, d)と定める。
  
  部分集合族BをB={R\{0}に含まれる開区間 }∪{I_[A](−c, d) | c,d >0}∪{I_[B](−c, d) | c,d>0}によって定め、これを開基とする位相をO_[S]とする。

    補足日時：2021/01/07 16:54

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/01/08 17:02

S が局所ユークリッド空間 とは、非負整数 n が存在して、

S の任意の点がR^nに同相な近傍をもつことをいうのだから

S
=(R-{0})∪{A,B}
=[(R-{0})∪{A}]∪[(R-{0})∪{B}]
S の任意の点p∈Sに対して
p∈(R-{0})∪{A}は　Rと同相な近傍
または
p∈(R-{0})∪{B}は　Rと同相な近傍
が
成り立つから
S は局所ユークリッド空間である

S上の任意の異なる2点a,bに対して,
U∩V=φであるようなaの開近傍Uおよびbの開近傍Vが必ず存在するとき
Sはハウスドルフ空間というのだから

{A}の任意の近傍Uに対して
U⊃{A}∪(-s,0)∪(0,s)
0<sとなるsがある
{B}の任意の近傍Vに対して
V⊃{B}∪(-t,0)∪(0,t)
0<tとなるtがある
x=min(s,t)/2
とすると
0<x<sだからx∈U
0<x<tだからx∈V
だから
x∈U∩V
だから
U∩V≠φ
だから
Sはハウスドルフ空間ではない

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/01/06 20:13

S=(R\{0})∪{A,B}

の位相が定義されていないので証明できません

Rの位相を実数空間の位相として
R\{0}=R-{0}の位相を
実数空間の部分空間の相対位相を定義しても
A,Bを付加した時の位相
A,Bの近傍
をどのように
定義するのかは不定です