放物線の準線について

放物線の準線について。最初F(p,0)を焦点にしてx=-pの準線との
距離が等距離になる点に軌跡ということで放物線を習いますが、
この基本的なy^2=4pxの放物線をx軸正方向に平行移動させていくと
x=-pの線が正になります（例えばx=5とか）そうすると
焦点も(p+α）となって準線はx=-p(この場合-(p+α））になりません。
こういう時つまり頂点が原点からずれてる場合になる思いますが、
この時でも準線と言うんでしょうか？
もし言うとしたら、準線＝x=-pと考えるのはなんかおかしいような
気がするのですが。

お願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/01/20 13:10

平行移動について少々の理解があれば分かるはずです

y²=4px の頂点は原点、焦点は(p,0),準線は　x=-p
これをｘの正方向にαだけ平行移動すれば
放物線の位置が全体的にαだけ水平にスライドして
頂点は(α,0),焦点は(p+α,0) 準線はx=-p+α　にうつります
そしてこれを表す式は
y²=4p(x-α)
です。

例えば、高校数学１で習う放物線
y=(x-1)²+2…①⇔y-2=(x-1)²…①'は
y=x²…②という原点が頂点の放物線を平行移動したものですが
②のyをy-2に、xを(x-1)に置き換えているので
①は②をｘ→+1 ｙ方向に2だけ平行移動したものということになりますよね
その証拠に　（この平行移動を表すx,yの置き換えについて理解できていない人でも）機械的に①は頂点が(1,2)と判断できますから、
②の(0,0)がx→1,y→2だけスライドして(1,2)になった
⇔グラフ全体もこれと同じだけ平行移動した
ということがわかります

y²=4pxでも同じこと
yをy-0に
xを(x-α)に置き換えたものが
y²=4p(x-α)ですが
これは　基本形をx方向に+a ｙ方向に0平行移動　という意味になるのです
このとき準線の式も　xが(x-α)に置き換わって
x-α=-p⇔x=-p+αです
ｙ軸と比べて右に位置していても、左に位置していても
関係なく準線は準線です
で、おっしゃる通り　平行移動後の準線はx=-pではないので
平行移動後も準線はx=-pと言い張るのは誤りです

この回答へのお礼

たいへんよくわかりすっきりしました。やはり-pというのが
ひかっかってしょうがありませんでした。
詳しい解説感謝いたします。

お礼日時：2021/01/20 14:02