ルートの中で偶数乗ではない素数が掛けられていたら、無条件に無理数になるという理解でいいのでしょうか？

ルートの中で偶数乗ではない素数が掛けられていたら、無条件に無理数になるという理解でいいのでしょうか？

例えば、
√2×2×3などは、√2×2は有理数でも、3が偶数乗になってないので、これは無理数である、と考えられますか？


下の青チャートの問題で、ルートの中をとりあえず数字の偶数乗にすればいいというような感じでやっていたので、気になり質問させて頂きました。

(問題)
√63n/40が有理数になるような最小の自然数nを求めよ。

(解答)
√63n/40＝3/2×√7n/2×5
これが有理数となるような最小の自然数nは
n＝2×5×7＝70


分かりにくくて申し訳ありませんが、教えていただけるとありがたいです。m(_ _)m

No.5 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/01/24 18:28

ルートの中で偶数乗ではない素数が掛けられていたら、無条件に無理数になるという理解でよいですし、この問題のように有理数になるようにする場合はルートの中を平方数にすればよいので解答の通りで問題ありません。

ただ、この問題は約分のことも考慮してルートの中を平方数にするということが含まれています。分母を有理化して考えるとその部分がなくなりますので問題が単純化されます。

√(63n/40)
=√(630n/400)
=√(3²×2×5×7×n)/20²)
=(3/20)×√(2×5×7×n)
これが有理数となるような最小の自然数nは
n＝2×5×7＝70

この回答へのお礼

なるほど！
確かに、1回有理化してから計算した方が単純に考えられますね。

何となくスッキリしました。
ありがとうございます。

お礼日時：2021/01/24 18:42

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2021/01/23 11:45

No3 です。

√(63n) が 有理数になれば良いだけなら
分母の 40 は 考える必要は無いですよね。
40 は有理数ですから。
つまり 63n が ある数の平方数になれば良いことになります。
63=3x3x7 ですから もう一つ 7 があれば良いです。
従って、n=7 が答です。
画像の中の式で n=2x5x7=70 の 2x5 は余分です。
√(63n)/40 で n=7 とすれば √(63x7)/40=√441/40=√21²/40＝21/40 。

この回答へのお礼

いえ、誤解させるような質問文で申し訳ないのですが、√(63n/40)です。
なので、n＝7では足りなさそうです。

お礼日時：2021/01/24 18:36

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2021/01/22 21:36

＞√の中をとにかく平方数にすればいいという理解でよろしいでしょうか？

少し補足を。
確かに ルートの中を 平方数にすれば良いのですが、
質問の書かれた例題では 分数の値が 整数になる必要があります。
√(63n) が 整数になるだけなら n=7 で良いことになりますね。

ちょっと変です。
n=70 では 63n=4410 で 平方数になりませんし、
√(63n/40) だとしても 4410は 40で割り切れません。

この回答へのお礼

問題は有理数にせよなので、√4410/√40＝√441/√4＝21/2と有理数になり、題意は満たしたことになりますかね？

お礼日時：2021/01/22 22:03

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2021/01/22 21:06

No.1 です。

ちょっと質問文を誤解していました。

「ルートの中を素因数分解したときに、偶数乗ではない素数がある場合には」ということですね？

だったら「無条件に無理数になる」ということでよいと思います。

この回答へのお礼

ご返信ありがとうございます。
誤読させてしまうような質問ですいませんでした。

では、質問文の青チャートの問題のように√を有理数にせよという場合は、√の中をとにかく平方数にすればいいという理解でよろしいでしょうか？

お礼日時：2021/01/22 21:12

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2021/01/22 21:02

＞無条件に無理数になるという理解でいいのでしょうか？

そうではない例を1つ。

　√(4^3) = 8

この回答へのお礼

4は素数じゃなくないですか？

√4^3＝√2^6
となり、これは素数の偶数乗ですから、当然有理数になるのではないですか？

お礼日時：2021/01/22 21:05