積分領域について

∫∫Df(x, y)dxdｙをもとめたいとき
D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤√y ≤ 1}とD = {(x, y) | 0 ≤ y ≤ x}という積分領域であるときｘ、ｙは何で置換したらよいですか

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2021/02/08 18:33

（１）D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤√y ≤ 1}

まず
　0 ≦ x ≦ 1　　　①
であることはよいですね？

次に
　0 ≦ x ≦ √y
なので
　x^2 ≦ y ≦ 1　　　②
ということです。

つまり
(1) まず、y について、②の範囲で積分。結果は x だけの関数になる。
(2) それを、x について、①の範囲で積分。


（２）D = {(x, y) | 0 ≤ y ≤ x}

上限値はありませんか？　ないと定積分はできない・・・。

たとえば
　D = {(x, y) | 0 ≤ y ≤ x ≤ 1}
であれば

(1) まず、y について、0 ≦ y ≦ x の範囲で積分。結果は x だけの関数になる。
(2) それを、x について、0 ≦ x ≦ 1 の範囲で積分。

あるいは

(1) まず、x について、y ≦ x ≦ 1 の範囲で積分。結果は y だけの関数になる。
(2) それを、y について、0 ≦ y ≦ 1 の範囲で積分。

のどちらでも同じ結果になるはず。
積分のしやすい方を選べばよいと思います。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/02/08 19:31

とりあえず、

0 ≦ x ≦ √y ≦ 1　⇔　0 ≦ y ≦ 1 かつ 0 ≦ x ≦ √y
　　　　　　　　⇔　0 ≦ x ≦ 1 かつ x² ≦ y ≦ 1
なので、ひとつめの D については
∬[0≦x≦√y≦1] f(x,y) dxdy = ∬[0≦y≦1,0≦x≦√y] f(x,y) dxdy
　　　　　　　　　　　　　= ∫[0≦y≦1]{ ∫[0≦x≦√y] f(x,y) dx }dy
か
∬[0≦x≦√y≦1] f(x,y) dxdy = ∬[0≦x≦1,x²≦y≦1] f(x,y) dxdy
　　　　　　　　　　　　　= ∫[0≦x≦1]{ ∫[x²≦y≦1] f(x,y) dy }dx
のように、累次積分へ変形しましょう。
f(x,y) の内容によっては、このまま反復積分するだけです。

変数変換するのであれば、どんな置換がよいかは
f(x,y) の具体的な式形を見て考える必要があります。
D だけでは決めようがありません。

ふたつめの D も似たような作業ですね。
0 ≦ y ≦ x　⇔　0 ≦ y かつ y ≦ x
　　　　　⇔　0 ≦ x かつ 0 ≦ y ≦ x
なので、
∬[0≦y≦x] f(x,y) dxdy = ∬[0≦y<+∞,y≦x<+∞] f(x,y) dxdy
　　　　　　　　　　= ∫[0≦y<+∞]{ ∫[y≦x<+∞] f(x,y) dx }dy
か
∬[0≦y≦x] f(x,y) dxdy = ∬[0≦x,0≦y≦x] f(x,y) dxdy
　　　　　　　　　　= ∫[0≦x<+∞]{ ∫[0≦y≦x] f(x,y) dy }dx
のように、累次化します。

変数変換については、以下同文です。

この回答へのお礼

ありがとうございます
f(x,y)=ｘe^(-x^２)のとき
自分で計算していてｘe^(-x^２)(１－ｘ^２)を積分しなくてはいけなくなったのですがこれはどうけいさんしたらよいでしょう)

お礼日時：2021/02/10 17:23

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/02/10 19:01

＞ f(x,y)=ｘe^(-x^２)のとき

＞ 自分で計算していてｘe^(-x^２)(１－ｘ^２)を積分しなくてはいけなくなったのですが

どちらの D の話だか書いていないけれど、それは
D = { (x, y) ｜ 0 ≦ x ≦ √y ≦ 1 } のほうを
∬[0≦x≦√y≦1] f(x,y) dxdy = ∬[0≦x≦1,x²≦y≦1] ｘe^(-x^２) dxdy
　　　　　　　　　　　　　= ∫[0≦x≦1]{ ∫[x²≦y≦1] ｘe^(-x^２) dy }dx
　　　　　　　　　　　　　= ∫[0≦x≦1]{ ｘe^(-x^２) ∫[x²≦y≦1] dy }dx
　　　　　　　　　　　　　= ∫[0≦x≦1] ｘe^(-x^２) (1-x²) dx
と変形した場合の話ですかね。

そこから先は、別に重積分の話でもありません。
u = x² か u = 1-x² かで置換積分すれば、簡単に計算できます。
u = 1-x² のほうを使えば、
∫[0,1] ｘe^(-x^２) (1-x²) dx = ∫[1,0] xe^(u+1) u du/(-2x)
　　　　　　　　　　　　　= (-e/2)∫[1,0] u e^u du
　　　　　　　　　　　　　= (e/2)∫[0,1] u e^u du
あとは、部分積分で
∫[0,1] u e^u du = [ u e^u ]_(0,1) - ∫[0,1] 1 e^u du
　　　　　　　　= { e - 0 } - [ e^u ]_(0,1)
　　　　　　　　= e - { e - 1 }
　　　　　　　　= 1
よって、
∬[0≦x≦√y≦1] f(x,y) dxdy = (e/2)1
　　　　　　　　　　　　　= e/2
になりますね。