(3) 3x³ ｰ 8x² + 46x − 60 = 0 の異なる実数解の個数を求めよという問題で

Question

(3)
3x³ ｰ 8x² + 46x − 60 = 0
の異なる実数解の個数を求めよ という問題です。
写真の黄マーカーの所が何をしているかわかりません。x=0、2はどこから出てきたものですか？
これらの式は何を意味してるのですか？

Tacosan · Accepted Answer

一般論として, 「単調増加」というだけでは「グラフと x軸との共有点の個数」は確定しない. とはいえこの場合はぶっちゃけ「1個であることがわかりきっている」ので,
1個であることを示すためてきとうなところを持ってきている
だけ. 「どうしても 0 でないといけない」とか「2 以外の値を使ってはいけない」ということではなく, 例えば
x=-104729.84942 と x = (15π√67) + 3/40
でもいい.

ありものがたり · Answer

「y’ > 0」から「y = 0 の解は 1 個である」へつなげるロジックは、

y > 0 となる x も y < 0 となる x も両方存在すること。
そうでないと、例えば y = e^x なんかだとうまくいかないからね。

y が 3次関数であれば、 x軸のやたら右のほうへ行けば y > 0 だし
ｘ軸のやたら左のほうへ行けば y < 0 だから、
y > 0 となる x も y < 0 となる x も両方存在することは判っている。
あとは、それをどうやって示すかという話。

y > 0 となる x と y < 0 となる x を具体的に 1個づつ挙げればいい
んだけれど、 y の値を計算する手間が少ない x を選びたい。
x = 0 のとき y = -60 < 0 であることは、相当ナニな人でも気づくだろう。
では、 y > 0 のほうはどうするか？
解答が x = 2 を選んでるのは、ちょっと賛成しづらい。
間違ってはいないが、あまり上手くはない。私なら、 x = 8 を使うな。

tsuyoshi2004 · Answer

他の回答どおりで、ｙ＜０であるｘとｙ＞０であるｘが存在することを示せば良いので、必ずしもｘ＝０とｘ＝２である必要はありません。
※ｙの最小値が０より大きかったり、ｙの最大値が０より小さい場合にはｘ軸と交差しないので実数解が存在しない。

その場合に、計算しやすいｘを使うほうが楽なので、もっとも計算の簡単なｘ＝０のときｙ＜０は決まるとして、ｙ＞０になるｘであればなんでも良いのですが、残念ながらｘ＝１ではｙ＜０なので、２にしたということでしょう。
したがって、ｘ＝１０でｙ＝１０００－８００＋４６０－６０＝６００＞０でも一向に構いません。

konjii · Answer

傾きは、ｙ’＝3(x－8/3)²+74/3>0 あらゆるｘで常に正・・極値は無い
切片はー６０
次の、ｘ＝２でｙ＝８は適当です。あるｘでｙが正になることを示しています。ｙが負から単純増加で正になれば、ｘ軸との交差は1ヶ所。

masterkoto · Answer

x=0、2はどこから出てきたものですか？
＞＞＞適当に選んだものです
ただし、計算が省エネ（ほぼ暗算だけ）で行えるようなxを選んでいますよ
y=x³-8x²+46x-60に
x=0を代入で
y=0³-8・0²+46・０-60=-60
０の積が大半を占めているので計算は非常に楽ですよね

x=1を代入してみる
y=1³-8・１²+46・１-60=47-68=-21
x=0よりは多少面倒です！

x=2を代入してみる
y=2³-8・2²+46・２-60
=8-32+92-60
=8+92-92
=8+0
=8
92-92が登場するんでこの計算はあまり苦労しません！

x=3を代入　もう面倒すぎてやる気がしません！
基本的にこれ以上xが大きくなると、ふつうは計算は楽になることはありません
そこで、これ以上大きな値での小手調べは打ち切りです

これらの式は何を意味してるのですか？
>>>
x=0を代入で
y=0³-8・0²+46・０-60=-60…①
x=2を代入してみる
y=2³-8・2²+46・２-60=＋8…②
これにより、グラフは　(0,-60)と(2,8)を通ることが分かりました
y座標がマイナスである点と、プラスである点をグラフが通るということは
少なくとも1度はグラフがx軸を横切るという事が言えますよね
このことが言いたいがために①②を示したのです

これに加えて　y'>０…③からこのグラフは単調増加という事もわかります
単調増加なら、グラフはどの部分を見ても右肩上がり傾向の形状です
右肩上がりでは、ｘ軸を2回以上横切ることはできませんから
①②➂を合わせるとこの３次関数のグラフはx軸を一回だけ横切る
ということになるのです

（⇔グラフがx軸を1回横切るなら、3x³ ｰ 8x² + 46x − 60 = 0の解は1個だけ　と言えますよね）

usa3usa · Answer

＞x=0、2はどこから出てきたものですか？

>解答が x = 2 を選んでるのは、ちょっと賛成しづらい。
>間違ってはいないが、あまり上手くはない。 私なら、 x = 8 を使うな。

私なら、
3x³ ｰ 8x² + 46x − 60 =(3x ｰ 8)x² + (46x − 60) 
なので　 x=3 を使うと思います。

(3) 3x³ ｰ 8x² + 46x − 60 = 0 の異なる実数解の個数を求めよ という問題で

一般論として, 「単調増加」というだけでは「グラフと x軸との共有点の個数」は確定しない. とはいえこの場合はぶっちゃけ「1個であることがわかりきっている」ので,

「y’ > 0」から「y = 0 の解は 1 個である」へつなげるロジックは、

他の回答どおりで、ｙ＜０であるｘとｙ＞０であるｘが存在することを示せば良いので、必ずしもｘ＝０とｘ＝２である必要はありません。

傾きは、ｙ’＝3(x－8/3)²+74/3>0 あらゆるｘで常に正・・極値は無い

x=0、2はどこから出てきたものですか？

＞x=0、2はどこから出てきたものですか？

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