線形代数の問題

a,bを定数とする．連立方程式
x-3y+2z=0
2x-11y+6z=a
x+7y-2z=b
が次に2条件を同時に満たすような定数a,bの条件を求めよ
(i)解は無限個ある
(ii)(x,y,x)=(1,1,1)は解でない

という問題がわかりません．
僕は行列で
(1 0 4/5)
(0 1 -2/5)
(0 0 0)
と変形し(i)の条件を満たすにはb=0であるところまではわかったのですが，aの条件がわかりません．
b=0とすると元の式がx+7y-2z=0となりaに関係なく(ii)を満たしてしまいます．

No.1 回答者： sukitaro 回答日時： 2021/03/01 16:00

代数的な解き方はわかりませんが、

最初の式から、2z=-x+3yなので、
2番目、3番目の式からzを消して、
-(x+2y)=a
2(x+2y)=b
が得られます。

これらは、xy平面上の直線なので、
解が無限個あるためには、この2つの直線が
xy平面上で重なっていればいいはずです。
なので、2a+b=0です。

また、(ii)は、それぞれ代入すれば、
(a,b)=(-3,6)でなければ、満たされると思います。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/03/01 18:52

(i) 解が無限個になる条件は、

係数行列
　(1　0　4/5)
　(0　1　-2/5)
　(0　0　0)　　の rank と
拡大係数行列
　(1　0　4/5　0)
　(0　1　-2/5 a)
　(0　0　0　　ｂ)　　の rank が
一致して、しかも係数行列のサイズ 3 より小さい
ときです。
係数行列の rank は 2 なので、
拡大係数行列の rank も 2 になる条件
を求めればよいですね。 それは、「b=0, aは任意」です。

(ii) (x,y,x)=(1,1,1) が解でない条件は、方程式へ代入して
　1 - 3・1 + 2・1 = 0,
　2・1 - 11・1 + 6・1 = a,
　1 + 7・1 - 2・1 = b.
が成り立たないことです。
b=0 であればこの 3 番めの式は成り立たないので、
(i)が成り立っていれば自動的に(ii)も成り立ちます。

結局、答えは
「b=0, aは任意」になります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
任意なんてこともあるのですね．

しかし、もう一人の方の解答では値が出ています．おそらく ありものがたりさんの答えで正しいと思うのですが， sukitaroさんのやり方も間違っているようには見えません．どこか間違っているのですね？
良ければ教えていただけますでしょうか。

お礼日時：2021/03/01 21:37

No.3 ベストアンサー 回答者： sukitaro 回答日時： 2021/03/02 09:14

何度もすみません、1の追記です。

拡大係数行列を使うなら、
(1 -3 2 0)
(2 -11 6 a)
(1 7 -2 b)
から変形を始めるので、

(1 0 -4/5 3a/5)
(0 1 -2/5 a/5)
(0 0 0 2a+b)
になると思います。

ありものがたりさんのおっしゃる通り、
(i)を満たすには、rankが2にならないといけませんから、
ここで2a+b=0が出てきます。

この回答へのお礼

=の右辺の部分を忘れていました．
ありがとうございます。
理解することができました．

お礼日時：2021/03/02 15:09