数学Iについて分からない問題があるので解説して欲しいです。 aの値が次の値または範囲にあるとき式、│

数学Iについて分からない問題があるので解説して欲しいです。

aの値が次の値または範囲にあるとき式、│a＋4│を絶対値記号を用いない形で表せ。
という問題でこの問題の中の
(2)-4＜a
(3)a＜-4
の答えまでの導き方が分かりません。

そして次の問題で、次の方程式、不等式を満たすxの値、または範囲を求めよ。というものでこの中の
(2)│2x│＋│x-3│＝5
(3)│2x＋3│≧-x＋1
(4)│x-4│＋│x＋1│＞7
の3問の答えまでの導き方が中々分からない状況です。

数学に詳しい方いましたら是非この上の問題の解説をして欲しいです。回答お願いします。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/21 00:19

疲れてきた。

もう計算ミスがあるに違いない...

(4)
x-4 ≧ 0, x+1 ≧ 0 のとき、与式 ⇔ (x-4) + (x+1) < 7.
　右の不等式の解は x < 5.
x-4 ≧ 0, x+1 < 0 のとき...
　x-4 < x+1 より、そんな x は存在しない。
x-4 < 0, x+1 ≧ 0 のとき、与式 ⇔ - (x-4) + (x+1) < 7.
　右の不等式は 6 < 7 となり、常に成立する。
x-4 < 0, x+1 < 0 のとき、与式 ⇔ - (x-4) - (x+1) < 7.
　右の不等式の解は x > -2.
以上より、解は (x-4 ≧ 0 かつ x+1 ≧ 0 かつ x < 5) または
　　　　　　(x-4 < 0 かつ x+1 ≧ 0) または
　　　　　　(x-4 < 0 かつ x+1 < 0 かつ x > -2).
すなわち、4 ≦ x < 5 または -1 ≦ x < 4 または -2 < x < -1.
すなわち、-2 < x < 5.

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/21 00:06

(2)(3)(4) 絶対値の個数のぶんだけ場合分けする。

(2)
2x ≧ 0, x-3 ≧ 0 のとき、与式 ⇔ (2x) + (x-3) = 5.
右の方程式の解は x = 8/3 だが、この解は x-3 ≧ 0 を満たさないため不適。
2x ≧ 0, x-3 < 0 のとき、与式 ⇔ (2x) - (x-3) = 5.
右の方程式の解は x = 2 で、この解は 2x ≧ 0, x-3 < 0 を満たしている。
2x < 0, x-3 ≧ 0 のとき、与式 ⇔ - (2x) + (x-3) = 5.
右の方程式の解は x = -8 で、この解は x-3 ≧ 0 を満たさないため不適。
2x < 0, x-3 < 0 のとき、与式 ⇔ - (2x) - (x-3) = 5.
右の方程式の解は x = -2/3 で、この解は 2x < 0, x-3 < 0 を満たしている。
以上より、解は x = 2, -2/3.

(3)
2x+3 ≧ 0 のとき、与式 ⇔ (2x+3) ≧ -x+1.
右の不等式の解は x ≧ -2/3.
2x+3 < 0 のとき、与式 ⇔ - (2x+3) ≧ -x+1.
右の不等式の解は x ≦ -4.
以上より、解は (2x+3 ≧ 0 かつ x ≧ -2/3) または (2x+3 < 0 かつ x ≦ -4).
すなわち、x ≧ -2/3 または x ≦ -4.

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/20 23:50

絶対値の定義は、

x ≧ 0 のとき |x| = x,
x < 0 のとき |x| = -x.

これをそのままあてはめると、
a+4 ≧ 0 のとき |a+4| = a+4,
a+4 < 0 のとき |a+4| = -(a+4).

すなわち、
a ≧ -4 のとき |a+4| = a+4,
a < -4 のとき |a+4| = -a-4.

「a ≧ -4 のとき」を
「a > -4 のとき」と
「a = -4 のとき」に分けて考えても構わないが、
そんなことしなくても良い。