
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
#2です。
>y=2xp+p^2 解4(y+x^2)^3=(2x^3+3xy+c)^2 でした。すいません
(1)は問題が違ったのですね。(どおりで複雑な一般解だと思いました。)
この微分方程式は非正規形なので少し工夫が要ります。
方針としては、両辺をxで微分してxをpの関数とみなして式を整理すると、微分方程式が同次形(dy/dx=f(y/x)で表される形)に帰着しますので、その順で解いていくことにします。以下、その過程を順を追って記していきます。
1)与えられた微分方程式をxで微分。
y=2xp+p^2 ・・・・・・・・・・(A)
⇒p=2p+2xp'+2pp' ←両辺をxで微分。
⇔p=-2(x+p)p'
⇔p+2(x+p)dp/dx=0
⇔dx/dp+2x/p=-2 ・・・・・・・・(B); ←同次形に帰着。
2)式(B)の同次形微分方程式を解くため、x=puとおく。←(同次形の常套手段)
x=pu ∴dx/dp=u+p・du/dp ・・・・(C)
式(C)を式(B)に代入すると、
u+p・du/dp+2u=-2
⇔p・du/dp=-(3u+2)
⇔dp/p=-du/(3u+2)
⇒log|p|=-1/3 log|3u+2|+C、C:積分定数 ←両辺を積分。
⇔p=c/(3u+2)^(1/3)、 C':積分定数 ←両辺の対数を外し、CをC'に置き換え。
∴(3u+2)p^3=c、 c:積分定数 ←C'をcに置き換え。
ここで、u=x/pなので、
(3x+2p)p^2=c ・・・・・・・・・(D)
これで、xとpの一般解が求められました。
次に、これをxとyの一般解に直します。
3)式(A)と式(D)を連立してxとyだけの式にする。
式(D)を変形して、
(3xp+2p^2)p=c
⇔{2(2xp+p^2)-xp}p=c ←式(A)の右辺にあわせて変形。
これと式(A)を連立して、
(2y-xp)p=c ・・・・・・・・・・(E)
ここで式(A)から
p^2+2xp-y=0
∴p=-x±√(y+x^2) ・・・・・・・・(F) ←2次方程式の解の公式
式(F)を式(E)に代入してpを完全に消去し、xとyだけの式にする。
[2y-x{-x±√(y+x^2)}]{-x±√(y+x^2)}=c
⇔-(2x^3+3xy)±2(y+x^2)√(y+x^2)=c^2 ←左辺を展開して整理。
⇔±2(y+x^2)√(y+x^2)=2x^3+3xy+c^2
∴4(y+x^2)^3=(2x^3+3xy+c^2)^2 ←両辺を2乗。
これで、求める一般解が得られました。
なお、特殊解については、C=0のときのy=0になっています。
とても丁寧な解説ありがとうございます。
早朝までこの問題に時間を割いてくれたことは、
とても感謝しつくせない限りです。
本当にお疲れ様でした。
解説もわかりやすく、よく理解することができました。
また、計算力もかなり必要な問題だということがわかりました。
計算ミスしやすいので何度も解いてできるようにがんばります。
私はフーリエ・ラプラス変換と微分方程式を勉強中です。
まわりに聞ける人がいないので、
今後もここを利用すると思います。
その時はよろしくお願いします。
長文失礼しました。
No.3
- 回答日時:
y'=pと置く時、y=px+f(p)の形になる微分方程式をクレローの方程式といいます。
これを解くには両辺xで微分してください。
y'=p'x+p+f'(p)p'となります。ここでy'=pですから代入して変形すると
p'{x+f'(p)}=0
あとはp'=0の時とx+f'(p)=0の時について調べるだけです。
もし勘違いしていたらすみません。
この回答への補足
y=2xp+p^2 解4(y+x^2)^3=(2x^3+3xy+c)^2
でした。すいません
(1)
のときxで微分すると、
p=2p+2xP'+P'
になりました。その後どうしたらいいのでしょうか。
調べるとは具体的にどうしたらいいのでしょうか。
No.2
- 回答日時:
変数分離で解いてはいかがでしょうか。
(1) y=2xp+p
⇔ y=(2x+1)dy/dx
⇔dy/y=dx/(2x+1)
⇔log|y|=1/2 log|2x+1|+C
⇔ y=C√(2x+1) ・・・・・一般解
特殊解はC=0のときのy=0
(ただし、一般解が4(y+x)^3=(2x^3+3xy+c)^2を満たすかは確かめていませんが。)
(2) xy=p+x
⇔ x(y-1)=dy/dx
⇔ dy/(y-1)=x・dx
⇔log|y-1|=1/2 x^2+C
⇔|y-1|=C・exp(1/2 x^2)
⇔ y=1+C・exp(1/2 x^2) ・・・・・一般解
特殊解はC=0のときのy=1
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