ベルトラン・チェビシェフの定理について。

以下のURLで、
https://6900.teacup.com/cgu135/bbs/1029
なぜ、am＝ーmになるのでしょうか？ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

質問者からの補足コメント

• 

  一応rはこれです。
  https://6900.teacup.com/cgu135/bbs/1030

    補足日時：2021/03/03 09:41

• 

  r=Σ_{k=1～∞}[n/p^k]の証明は、一体どうなるのでしょうか？今までの中で、証明されているのでしょうか？ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/03/04 17:56

• 

  (対数の定義)
  p^t=n
  となる時
  t=log_p(n)
  と定義する
  は、計算自体は、分かるのですが、なぜ、tをそのように定めるのでしょうか？ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

  No.10の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/03/05 19:01

• 

  p^(s-1)≦m!<p^s
  ↓(仮定)から
  r(m)=Σ_{k=1～s-1}[m/p^k]
  m!=a(m)p^{r(m)}
  所は、どうなっているのでしょうか？ご教授頂けると幸いです。

  No.18の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/03/14 21:23

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/03/03 09:59

a_m=-mにはなりません

取り消します
仮に
a_m=-m
とすれば
a_mは発散するといったのです

この回答へのお礼

ー∞に発散しているのに0に収束してしまうとはどういうことでしょうか？なぜ、それが言えるのでしょうか？ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

お礼日時：2021/03/03 10:32

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/03/03 10:12

(i)の証明

s=[log_p(n)]
とする
k>s
となる整数kに対しては
s≦log_p(n)<s+1≦k
だから
p^s≦n<p^(s+1)≦p^k
n<p^k
n/p^k<1
[n/p^k]=0
だから

任意のε>0に対して
自然数
s=[log_p(n)]
が存在して
m≧sとなる任意の自然数mに対して

|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-Σ_{k=1～s}[n/p^k]|
=|Σ_{k=s+1～m}[n/p^k]|
↓k>sとなる整数kに対しては[n/p^k]=0だから
=0
<ε

となるから
∴
Σ_{k=1～∞}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

n!を素数pで割ったとき,ちょうどp^rで割り切れる
(それ以上の累乗では割り切れない)時
rをn!のp指数という

n!の因数1,2,…,nの中で,pの倍数は
p,2p,3p,…,[n/p]p
の[n/p]個である.
また.p^2の倍数は
p^2,2p^2,3p^2,…[n/p^2]p^2
の[n/p^2]個である
一般にp^kの倍数は
p^k,2p^k,3p^k,…[n/p^k]p^k
の[n/p^k]個である
すべての
k(1≦k≦s)について
[n/p^k]を加えると
n!の因数でp指数がkとなるものについては
ちょうどk回重複して数えることになって
Σ_{k=1～s}[n/p^k]
は
n!の素因数として現れるpの個数に一致する
から
これはn!のp指数であるから
∴
r=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

s=[log_p(n)]
だから
s≦log_p(n)<s+1
だから
∴
p^s≦n<p^(s+1)

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/03/03 20:12

r=Σ{k=1～∞}[n/p^k]

に関係無い
一般的な
数列
{a(m)}_{m∈N}
に対して
lim{m→∞}a(m)=0
の
定義は
「
任意のε>0に対して
ある自然数n0が存在して
m≧n0となる任意の自然数mに対して
｜a(m)｜<ε
となる
」
時に
a(m)は0に収束するというのです

この絶対値を外して
「
任意のε>0に対して
ある自然数n0が存在して
m≧n0となる任意の自然数mに対して
a(m)<ε
となる
」
時に
a(m)は0に収束するという事に
してしまうと

a(m)=-m
の時
a(m)=-mは-∞に発散しているのに

a(m)=-m<ε
だから
0に収束する事になってしまうのです
だから
絶対値は外してはいけません

この回答へのお礼

これは、（i)の最初の但し書きに繋がって来ると言うことですね？ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

お礼日時：2021/03/04 05:14

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/03/04 10:30

「

なぜ、|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r|のように絶対値をつけたのでしょうか？
」
という質問に答えたつもりなのですが、まだ理解できていないようなので

証明なしに
r=Σ_{k=1～∞}[n/p^k]
と書いてはいけません
r=Σ_{k=1～∞}[n/p^k]
は
r=lim_{m→∞}Σ_{k=1～m}[n/p^k]
という意味なのです
mを限りなく大きくするとΣ_{k=1～m}[n/p^k]はrに近づく
という意味なのです
mを限りなく大きくすると(Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r)は0に近づく
という意味なのです
b_m=Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r
とすると
mを限りなく大きくすると b_m は0に近づく
という意味なのです
mを限りなく大きくすると|b_m|は小さくなり0に近づく
という意味なのです
|b_m|が小さくなるのであって
b_mが小さくなるのではありません
だから
絶対値が必要なのです

この回答へのお礼

|b_m|が小さくなるのであって
b_mが小さくなるのではありません
とはどう言うことでしょうか？ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

お礼日時：2021/03/04 14:30

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/03/04 16:24

証明なしに

r=Σ_{k=1～∞}[n/p^k]
と書いてはいけません
r=Σ_{k=1～∞}[n/p^k]
は
r=lim_{m→∞}Σ_{k=1～m}[n/p^k]
という意味なのです
mを限りなく大きくするとΣ_{k=1～m}[n/p^k]はrに近づく
という意味なのです
mを限りなく大きくすると(Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r)は0に近づく
という意味なのです
b_m=Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r
とすると
mを限りなく大きくすると b_m は0に近づく
という意味なのです
mを限りなく大きくすると|b_m|は小さくなり0に近づく
という意味なのです
|b_m|が小さくなるのであって
b_mが小さくなるのではありません

例)
n=9
p=2
とすると

[n/p]=[9/2]=4
[n/p^2]=[9/2^2]=2
[n/p^3]=[9/2^3]=1
r=[9/2]+[9/2^2]+[9/2^3]=4+2+1=7

b_1=[9/2]-7=4-7=-3
b_2=[9/2]+[9/2^2]-7=4+2-7=-1
b_3=[9/2]+[9/2^2]+[9/2^3]-7=0

|b_1|=3>1=|b_2|>0=|b_3|
|b_1|>|b_2|>|b_3|
だから|b_m|は小さくなるけれども

b_1=-3<-1=b_2<0=b_3
b_1<b_2<b_3
だから
b_mが小さくなるのではありません

だから
絶対値が必要なのです

この回答へのお礼

(Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r)は絶対値のつもりでしょうか？ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

お礼日時：2021/03/04 17:34

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/03/04 19:05

(Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r)

は絶対値ではありません
絶対値を付けない
(Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r)は(大きくなり)0に近づく
と
絶対値をつけた
|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r|は(小さくなり)0に近づく
は
どちらも0に近づく
同じ意味になるのです

証明なしに
r=Σ_{k=1～∞}[n/p^k]
と書いてはいけません
r=Σ_{k=1～∞}[n/p^k]
は
r=lim_{m→∞}Σ_{k=1～m}[n/p^k]
という意味なのです
mを限りなく大きくするとΣ_{k=1～m}[n/p^k]はrに近づく
という意味なのです
mを限りなく大きくすると(Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r)は0に近づく
という意味なのです
b_m=Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r
とすると
mを限りなく大きくすると b_m は0に近づく
という意味なのです
mを限りなく大きくすると|b_m|は小さくなり0に近づく
という意味なのです
|b_m|が小さくなるのであって
b_mが小さくなるのではありません

例)
n=17
p=2
とすると

[n/p]=[17/2]=8
[n/p^2]=[17/2^2]=4
[n/p^3]=[17/2^3]=2
[n/p^4]=[17/2^4]=1
r=[17/2]+[17/2^2]+[17/2^3]+[17/2^4]=8+4+2+1=15

b_1=[17/2]-15=8-15=-7
b_2=[17/2]+[17/2^2]-15=8+4-15=-3
b_3=[17/2]+[17/2^2]+[17/2^3]-15=8+4+2-15=-1
b_4=[17/2]+[17/2^2]+[17/2^3]+[17/2^4]-15=8+4+2+1-15=0

|b_1|=7>3=|b_2|>1=|b_3|>0=|b_4|
|b_1|>|b_2|>|b_3|>|b_4|
だから|b_m|は小さくなるけれども

b_1=-7<-3=b_2<-1=b_3<0=b_4
b_1<b_2<b_3<b_4
だから
b_mが小さくなるのではありません

だから
絶対値が必要なのです

この回答へのお礼

(Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r)は(大きくなり)0に近づくとは、No.5の事と同じなのでしょうか？ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

お礼日時：2021/03/04 23:59

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/03/04 19:14

r=Σ_{k=1～∞}[n/p^k]

の証明は

s=[log_p(n)]
m≧sとなる任意の自然数mに対して

Σ_{k=1～m}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
を
証明すると

Σ_{k=1～∞}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

を証明したことになるのです
その後
r=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
を
証明しています

(i)の証明
s=[log_p(n)]
とする
k>s
となる整数kに対しては
s≦log_p(n)<s+1≦k
だから
p^s≦n<p^(s+1)≦p^k
n<p^k
n/p^k<1
[n/p^k]=0
だから

任意のε>0に対して
自然数
s=[log_p(n)]
が存在して
m≧sとなる任意の自然数mに対して

|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-Σ_{k=1～s}[n/p^k]|
=|Σ_{k=s+1～m}[n/p^k]|
↓k>sとなる整数kに対しては[n/p^k]=0だから
=0
<ε

となるから
∴
Σ_{k=1～∞}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

n!を素数pで割ったとき,ちょうどp^rで割り切れる
(それ以上の累乗では割り切れない)時
rをn!のp指数という

n!の因数1,2,…,nの中で,pの倍数は
p,2p,3p,…,[n/p]p
の[n/p]個である.
また.p^2の倍数は
p^2,2p^2,3p^2,…[n/p^2]p^2
の[n/p^2]個である
一般にp^kの倍数は
p^k,2p^k,3p^k,…[n/p^k]p^k
の[n/p^k]個である
すべての
k(1≦k≦s)について
[n/p^k]を加えると
n!の因数でp指数がkとなるものについては
ちょうどk回重複して数えることになって
Σ_{k=1～s}[n/p^k]
は
n!の素因数として現れるpの個数に一致する
から
これはn!のp指数であるから
∴
r=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

s=[log_p(n)]
だから
s≦log_p(n)<s+1
だから
∴
p^s≦n<p^(s+1)

この回答へのお礼

r=Σ_{k=1～∞}[n/p^k]
の証明は

s=[log_p(n)]
m≧sとなる任意の自然数mに対して

Σ_{k=1～m}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
を
証明すると

Σ_{k=1～∞}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

を証明したことになるのです
その後
r=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
を
証明しています
これは、どこに証明が書かれてあるのでしょうか？ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

お礼日時：2021/03/05 00:06

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/03/05 03:40

「

(Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r)は(大きくなり)0に近づく
」
とは、No.5の
「
(Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r)は0に近づく
」
と同じなのです
r=Σ_{k=1～∞}[n/p^k]
の証明は

s=[log_p(n)]
m≧sとなる任意の自然数mに対して

Σ_{k=1～m}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
を
証明すると

Σ_{k=1～∞}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

を証明したことになるのです
その後
r=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
を
証明しています
これは、
以下の
(i)の証明に書かれています
(i)の証明
s=[log_p(n)]
とする
k>s
となる整数kに対しては
s≦log_p(n)<s+1≦k
だから
p^s≦n<p^(s+1)≦p^k
n<p^k
n/p^k<1
[n/p^k]=0
だから

任意のε>0に対して
自然数
s=[log_p(n)]
が存在して
m≧sとなる任意の自然数mに対して

|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-Σ_{k=1～s}[n/p^k]|
=|Σ_{k=s+1～m}[n/p^k]|
↓k>sとなる整数kに対しては[n/p^k]=0だから
=0
<ε

となるから
∴
Σ_{k=1～∞}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

n!を素数pで割ったとき,ちょうどp^rで割り切れる
(それ以上の累乗では割り切れない)時
rをn!のp指数という

n!の因数1,2,…,nの中で,pの倍数は
p,2p,3p,…,[n/p]p
の[n/p]個である.
また.p^2の倍数は
p^2,2p^2,3p^2,…[n/p^2]p^2
の[n/p^2]個である
一般にp^kの倍数は
p^k,2p^k,3p^k,…[n/p^k]p^k
の[n/p^k]個である
すべての
k(1≦k≦s)について
[n/p^k]を加えると
n!の因数でp指数がkとなるものについては
ちょうどk回重複して数えることになって
Σ_{k=1～s}[n/p^k]
は
n!の素因数として現れるpの個数に一致する
から
これはn!のp指数であるから
∴
r=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

s=[log_p(n)]
だから
s≦log_p(n)<s+1
だから
∴
p^s≦n<p^(s+1)

この回答へのお礼

|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r|は(小さくなり)0に近づく
はNo.6と同じなのでしょうか？ご教授頂けると幸いです。もう一つあって、
m≧sとなる任意の自然数mに対して

Σ_{k=1～m}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
を
証明すると

Σ_{k=1～∞}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

を証明したことになるのです
その後
r=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
を
証明しています
これは、どう言う事でしょうか？ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

お礼日時：2021/03/05 15:31

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/03/05 16:18

|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r|は(小さくなり)0に近づく

はNo.6と同じ
です

(i)の証明
s=[log_p(n)]
とする
m≧k>s
となる任意の自然数m,kに対して
[log_p(n)]=s≦log_p(n)<k≦m
だから
n<p^k
だから
n/p^k<1
だからs<k≦mの時
[n/p^k]=0
だから
∴
Σ_{k=1～m}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
だから

任意のε>0に対して
s=[log_p(n)]
とすると
m>sとなる自然数mに対して
Σ_{k=1～m}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
だから
|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-Σ_{k=1～s}[n/p^k]|=0<ε
となる
から
極限の定義から
Σ_{k=1～∞}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
となるのです

その後の
r=Σ_{k=1～s}[n/p^k]の証明は以下の通り

n!を素数pで割ったとき,ちょうどp^rで割り切れる
(それ以上の累乗では割り切れない)時
rをn!のp指数という

n!の因数1,2,…,nの中で,pの倍数は
p,2p,3p,…,[n/p]p
の[n/p]個である.
また.p^2の倍数は
p^2,2p^2,3p^2,…[n/p^2]p^2
の[n/p^2]個である
一般にp^kの倍数は
p^k,2p^k,3p^k,…[n/p^k]p^k
の[n/p^k]個である
すべての
k(1≦k≦s)について
[n/p^k]を加えると
n!の因数でp指数がkとなるものについては
ちょうどk回重複して数えることになって
Σ_{k=1～s}[n/p^k]
は
n!の素因数として現れるpの個数に一致する
から
これはn!のp指数であるから
∴
r=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

この回答へのお礼

s=[log_p(n)]と、極限の定義から
Σ_{k=1～∞}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
となるのですとはどう言う事でしょうか？ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

お礼日時：2021/03/05 16:53

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/03/05 17:16

(対数の定義)

p^t=n
となる時
t=log_p(n)
と定義する

(ガウス記号の定義)
[t]=(t以下の最大の整数)
と定義する

(i)の証明
s=[log_p(n)]
t=log_p(n)
とすると
対数の定義から
p^t=n
s=[t]

m≧k>s
となる任意の自然数m,kに対して
[t]=(t以下の最大の整数)だから
[t]≦t<[t]+1
s=[t]≦t<[t]+1=s+1
s≦t<s+1
s<kだから
s+1≦kだから
s≦t<s+1≦k≦m
t<k
だから
n=p^t<p^k
n<p^k
だから
n/p^k<1
だからs<k≦mの時
[n/p^k]=0
だから
∴
Σ_{k=1～m}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
だから

任意のε>0に対して
s=[log_p(n)]
とすると
m>sとなる任意の自然数mに対して
Σ_{k=1～m}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
だから
|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-Σ_{k=1～s}[n/p^k]|=0<ε
となるから
[
任意のε>0に対して
ある自然数sが存在して
m>sとなる任意の自然数mに対して
|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-Σ_{k=1～s}[n/p^k]|<ε
となる時
Σ_{k=1～∞}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
と定義する
]
という
極限の定義から
Σ_{k=1～∞}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
となるのです

その後の
r=Σ_{k=1～s}[n/p^k]の証明は以下の通り

n!を素数pで割ったとき,ちょうどp^rで割り切れる
(それ以上の累乗では割り切れない)時
rをn!のp指数という

n!の因数1,2,…,nの中で,pの倍数は
p,2p,3p,…,[n/p]p
の[n/p]個である.
また.p^2の倍数は
p^2,2p^2,3p^2,…[n/p^2]p^2
の[n/p^2]個である
一般にp^kの倍数は
p^k,2p^k,3p^k,…[n/p^k]p^k
の[n/p^k]個である
すべての
k(1≦k≦s)について
[n/p^k]を加えると
n!の因数でp指数がkとなるものについては
ちょうどk回重複して数えることになって
Σ_{k=1～s}[n/p^k]
は
n!の素因数として現れるpの個数に一致する
から
これはn!のp指数であるから
∴
r=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

この回答へのお礼

任意のε>0に対して
ある自然数sが存在して
m>sとなる任意の自然数mに対して
|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-Σ_{k=1～s}[n/p^k]|<ε
となる時
Σ_{k=1～∞}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
と定義する
]
という
極限の定義から
Σ_{k=1～∞}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
となるのです
は、どう言う事でしょうか？ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

お礼日時：2021/03/05 18:40