No.5ベストアンサー
- 回答日時:
話題に上った全微分の定義はニ変数関数f(x,y)の場合で言えば
df=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy
となりますが、なぜこの定義にしたかは以下のように考えれば分かりやすいと思います。
df=f(x+dx,y+dy)-f(x,y)
=f(x+dx,y+dy)-f(x,y+dy)
+f(x,y+dy)-f(x,y)
ここで
f(x+dx,y+dy)-f(x,y+dy)=
[{f(x+dx,y+dy)-f(x,y+dy)}/dx]dx
=(∂f/∂x)dx
f(x,y+dy)-f(x,y)=
[{f(x,y+dy)-f(x,y)}/dy]dy
=(∂f/∂y)dy
∴df=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy
ちなみにfが一変数関数の場合は
df=(df/dx)dx
の事を微分と言い、これが多変数関数における全微分に相当します。恐らくは「全部の変数についての微分」と言う所から「全微分」と名付けられたのではと思っています。
PS:ここではニ変数関数の場合の全微分を書きましたが、三変数以上の関数についても同様になります。
No.3
- 回答日時:
そもそもの微分は、
y = f(x)
として、x を Δx だけ変化させたときの y の変化 Δy の割合である
Δy/Δx
に対して、Δx → 0 としたのときの極限として定義されます。
「Δx に対する Δy の割合」ということで「Δy/Δx」です。
そして、その極限を記号として「dy/dx」と書きます。極限だと「0/0」なので、これは「割り算、分数」ではなく「全部合わせてひとつの記号」という位置づけになります。
偏微分は「変数が複数ある場合に、 x だけを変数とみなした微分」なので記号がちょっと変わりますが、意味合いは同じです。
この回答へのお礼
お礼日時:2021/03/13 23:01
わかりやすい説明ありがとうございます!
イメージができました!
今まで知らずになんとなく書いていたので
これからは、イメージしながら書こうと思います
No.2
- 回答日時:
常微分の「dy/dx」の意味に立ち返って考えると納得しやすいと思います。
そもそもdy/dxとは、xの微小変化⊿xに伴うyの微小変化⊿yを考えた時の⊿y/⊿xにおいてxを限りなく小さくした時の極限です。⊿xを限りなく小さくしたものをdx、⊿yのそれをdyと書くわけですから、yをxで微分したdy/dxは「dx分のdy」と言う普通の分数だと考える事もできますし、物理等で微分を実際に使う場合にはこのように解釈した方が導関数の具体的なイメージがしやすいです。こう考えれば、ある意味常微分の延長である偏微分の場合も、偏微分する変数の方を分母に書くと約束するのは極めて自然だと思います。
なお数学の時間に「dy/dxはdx分のdyじゃない。これでひとまとめの記号だ」と習ったかもしれませんし、ある意味それも間違ってはいないわけですが、⊿xと⊿yがそれぞれ無関係にではなく連動して変化する事さえ押さえておけば、ここに書いた理解の仕方の方が実用的だと思います。
この回答へのお礼
お礼日時:2021/03/13 23:03
たしかに、考えてみれば分母に書くのは自然なことですよね、、
その発想が今までなかったです
これからは、イメージを持って問題を解いていきたいと思います!
ありがとうございました
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 常微分方程式論と偏微分方程式論 2 2022/04/03 22:35
- 数学 数学の偏微分の問題です。 1変数の微分でも怪しいのですが、 f(x,y)=√(x-y^2/(2x^3 2 2022/12/09 11:01
- 数学 √xyの微分は数3の微分の内容ではできませんか?調べたら2変数関数とか偏微分とかが出てきたんですが、 6 2023/01/26 03:01
- 数学 偏微分に関して教えてください。 g(t)=f(tx,ty)とおいたとき、g(t)の3階微分と4階微分 3 2023/06/27 21:04
- 数学 ディラック方程式を微分方程式のタイプで分類するとどのタイプ? 1 2022/09/12 08:37
- 数学 偏微分方程式 こわい 3 2022/10/15 17:52
- 物理学 非物理系の、物理学の勉強法 4 2023/04/29 21:14
- 統計学 不偏分散について 3 2022/03/29 15:57
- 数学 数学の「変分問題」について 5 2022/06/04 00:23
- 数学 【数学ⅲ】三角関数と合成関数の微分について 4 2022/07/07 21:44
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
積分で1/x^2 はどうなるのでし...
-
e^-2xの積分
-
∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわ...
-
∫1/√x dx 積分せよ 教えて下さい
-
フーリエ変換の問題について
-
フーリエ級数の問題で、f(x)は...
-
積分 Xの-2乗を積分するとどう...
-
1/X^2の積分ってlogX^2ですか?
-
項の右端につく縦棒の意味を教...
-
2次微分の変数変換
-
exp(-ax^2)*cosx の証明
-
微積分 dの意味
-
(x^2-y^2)dy/dx -2xy=0 この微...
-
連続確率変数Xの確率密度関数fx...
-
∫e^cos(x) dx の計算
-
数学の微分の問題
-
1/(x*(x-1)^(1/2))の積分について
-
x/(a^2+x^2)の積分について
-
1/(1-y)の積分は、なぜ-log(1-y...
-
expの計算(下記の訂正質問)
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
積分で1/x^2 はどうなるのでし...
-
e^-2xの積分
-
∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわ...
-
∫1/√x dx 積分せよ 教えて下さい
-
フーリエ級数の問題で、f(x)は...
-
積分 Xの-2乗を積分するとどう...
-
項の右端につく縦棒の意味を教...
-
∫e^cos(x) dx の計算
-
1/X^2の積分ってlogX^2ですか?
-
微積分 dの意味
-
exp(-ax^2)*cosx の証明
-
2次微分の変数変換
-
【数学Ⅱ・Ⅲ】微分の問題
-
ガンマ関数Γ(x)は、階乗からど...
-
フーリエ変換の問題について
-
x/(a^2+x^2)の積分について
-
(dy/dx)+y=xの微分方程式はどの...
-
x−1分の2の微分の仕方を教えて...
-
虚数「i」の無限大への極限
-
微分方程式の解き方
おすすめ情報
まった、たこさんの全微分はどう考えれば良いのか、、、、、、、、、