三角形の内角の和は本当に180度か

三角形の内角の和は本当は180度より大きいということはないでしょうか？

どうしてそう思ったかといいますと、
例えばの話、球面上にいる二次元生物がいるとします。この二次元生物が球面上の北極を頂点、赤道の４分の１の長さを底辺とした三角形を描きます。この二次元生物にとっては各頂点は最短距離を結ばれていて三角形を描いているように思われますが、内角の和は270度になりますよね？
これを私達の３次元に拡張して、非常に離れた（宇宙の大きさと同じくらい離れた）３点を結び巨大な三角形をつくると同じように270度とかになったりすることがあるのかななどと思ってしまいましたが、何か大きな勘違いをしているのでしょうか？

No.7 回答者： GWarsenal 回答日時： 2005/02/19 02:29

確かにその理論どおり宇宙規模の大きさで線を引いた場合歪んでしまうことがあるかもしれません。

ただ三角形の内角の和は１８０度っていうのは直線で引いた場合です。
ちなみに２次元の話なので、どうやっても３次元で実現はできません（どのような方法をとっても絶対的に三次元になるため）
しかし、私たち人間を含め全ての物が３次元の物体のため歪みは生じません。
なぜなら私たちの歪みとその巨大三角形の歪みの割合は等しくなるためです。

ただし３次元から見た２次元、２次元からみた３次元（あなたの話）であれば歪むでしょう（理論上あり得ませんが）

この回答へのお礼

「宇宙には果てがないが、大きさに限りがある」
「宇宙は膨張しており、星と星は互いに遠ざかっている」と聞いた事があります。
これが正しいとすればこれを満たすために宇宙空間は必ず歪んでいなければいけませんよね？
三角定規くらいの三角形でもある大きさの宇宙空間を占めているので歪んでいるのではないでしょうか？

お礼日時：2005/02/19 02:47

No.6 回答者： kfir2001 回答日時： 2005/02/19 02:19

平面上の三角形の内角の和が１８０度になることについては、納得しているわけですね。

平面上ではない、球面上では内角の和は１８０度以上になることも知っていて、現実の宇宙ではどうなっているかを知りたいということですね。

たとえば、非常に重力の強いところでは、光が曲がることが知られています。曲率０ではないのです。
そういうところでは、平面そのものがゆがんでいるわけですから、三角形の内角の和は１８０度になりません。

この回答へのお礼

ええ、まさにそういう意味で質問しています。
三角形が限りなく小さくなると、内角の和も180度に近づくのかな。

お礼日時：2005/02/19 02:31

No.5 回答者： nobugs 回答日時： 2005/02/19 02:16

まず、定理の前提条件として。

１、平面上の
２、３点を
３、直線で結んだ３角形の
４、内角の和は１８０°
となっています。

想定の１番目では、平面ではなく、球面の表面上に描かれた三角形ですから、曲線で結ばれるので定義に外れます。

宇宙空間では、空間自体が捩れているとの説もあります。
定理として特殊界での話しですから、一般界では直線の定義も変わってきます。

No.4 回答者： yuji-takamatsu 回答日時： 2005/02/19 02:16

二次元と三次元が混同していませんか？

算数などで言う三角形の内角の和の１８０度はあくまでも二次元の世界です。
地球を例に取った球体の場合は球面上にラインを描くと三次元になりませんか？
あなたが言う「球状の二次元生物」は「三次元生物」の事です。

りんごを用意して皮をその形に切ってみてください
無理やり二次元にすると直線の三角形でなく「ちょっと膨らんだ三角形」になるはずですよ

No.3 回答者： ayapapa01 回答日時： 2005/02/19 02:14

質問の図形はそれぞれの辺が直線ではないですね。

球面です。

No.2 回答者： ceita 回答日時： 2005/02/19 02:12

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%9E%E3%83%A6% …
非ユークリッド幾何学と呼ばれる分野として
研究されているはずです。

No.1 回答者： otasuke009 回答日時： 2005/02/19 02:11

三角形の内角の和は180度というのは平面幾何の話でしょう。

ご指摘の前半の例だと270度ですね（球面幾何？）
後半の例だと３次元の意味はあまり感じられません。３点を含む平面を考えれば、内角の和は180度になるでしょうし、球面を考えれば270度になることもあるでしょう（そうでないことも当然あります）。

この回答へのお礼

＞３点を含む平面を考えれば

私達３次元の人間が平面と思っているものが４次元の世界からみたら実はゆがんでいるということはなのでしょうか？

例えば宇宙をどこまでもまっすぐに進んでいくと元の場所に戻るかもしれないという考え方があるので。

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1106141

お礼日時：2005/02/19 02:26