不等式について。

引用開始
以下の条件を満たす実数αを求めよ。
条件：
任意の自然数nに対して、ある整数kが存在して、
|α - k/n|≦1/(3n)
が成り立つ。 この問題をご教授いただけないでしょうか？すみません。
で、
(n,k)の組は(2,1)があります。|α-k/n|<=1/3nがα=1/2でn=2のときです。
　|1/2-k/2|<=1/6
　0<1/2-k/2<=1/6
　0<k/2-1/2<=1/6
　2/3<=k<=4/3
となるような整数k=1があります。α=1/2は条件を満たします。指摘は誤りです。
で、|1/2-k/2|<=1/6
　0<1/2-k/2<=1/6
　0<k/2-1/2<=1/6
　2/3<=k<=4/3
の所で、 2行目の式と3行目の式マイナスを掛けていますよね？
引用終了
で、これは、間違いだと思うのですが？ご教授いただけないでしょうか？すみません。

No.11 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/04/30 05:47

では

「
x=(3^(d+1))α の α, x を 3進小数で書けば、
」
というのはどういう事か
「
3進小数
」
とは何かわかるのですか?
それを書いた人に質問してください
---------------------------------------------
任意の自然数nに対して
|α-k/n|≦1/(3n)となる整数kがあるとする
↓両辺にnをかけると
|nα-k|≦1/3

0≦nα-kの時
nα-k≦1/3
↓両辺にk-1/3を加えると
nα-1/3≦k

nα-k<0の時
k-nα≦1/3
↓両辺にnαを加えると
k≦nα+1/3
kは整数で[nα+1/3]=(nα+1/3以下の最大整数)だから
k≦[nα+1/3]
↓これとnα-1/3≦kから

nα-1/3≦[nα+1/3]…(1)

[α+1/2]=(α+1/2以下の最大整数)
x=α-[α+1/2]
とすると
[α+1/2]≦α+1/2<[α+1/2]+1
-1/2≦α-[α+1/2]<1/2
-1/2≦x<1/2
α=x+[α+1/2]
だからこれを(1)に代入すると
n(x+[α+1/2])-1/3≦[nα+1/3]≦n(x+[α+1/2])+1/3
nx+n[α+1/2]-1/3≦[nα+1/3]≦nx+n[α+1/2]+1/3
nx-1/3≦[nα+1/3]-n[α+1/2]≦nx+1/3
だから
[nα+1/3]-n[α+1/2]≦[nx+1/3]
だから

nx-1/3≦[nx+1/3]…(2)


n=1の時(2)から
x-1/3≦[x+1/3]≦x+1/3
-1/2≦x<1/2だから
-1/2-1/3≦x-1/3≦[x+1/3]≦x+1/3<1/2+1/3
-5/6≦[x+1/3]<5/6
↓[x+1/3]は整数だから
[x+1/3]=0
x≦1/3≦x+2/3
-1/3≦x≦1/3

n=2の時(2)から
2x-1/3≦[2x+1/3]≦2x+1/3
↓-1/3≦x≦1/3だから
-2/3-1/3≦2x-1/3≦[2x+1/3]≦2x+1/3≦2/3+1/3
-1≦[2x+1/3]≦1

[2x+1/3]=-1
または
[2x+1/3]=0
または
[2x+1/3]=1

[2x+1/3]=-1の時
2x-1/3≦-1≦2x+1/3
-1-1/3≦2x≦-1+1/3
-4/3≦2x≦-2/3
-2/3≦x≦-1/3
↓-1/3≦xだから
x=-1/3

[2x+1/3]=1の時
2x-1/3≦1≦2x+1/3
1-1/3≦2x≦1+1/3
2/3≦2x≦4/3
1/3≦x≦2/3
↓x≦1/3だから
x=1/3

[2x+1/3]=0の時
2x-1/3≦0≦2x+1/3
-1/3≦2x≦1/3
-1/6≦x≦1/6
|x|≦1/6
だから
P(n)={|x|≦1/(3n)}
とすると
P(2)={|x|≦1/6}は真
ある自然数n≧2に対してP(n)は真と仮定すると
|x|≦1/(3n)
-1/(3n)≦x≦1/(3n)
(2)のnをn+1に置き換えると
(n+1)x-1/3≦[(n+1)x+1/3]≦(n+1)x+1/3…(3)
↓-1/(3n)≦x≦1/(3n)だから
-(n+1)/(3n)-1/3≦[(n+1)x+1/3]≦(n+1)/(3n)+1/3
-1<-1+(n-1)/(3n)≦[(n+1)x+1/3]≦1-(n-1)/(3n)<1
-1<[(n+1)x+1/3]<1
↓[(n+1)x+1/3]は整数だから
[(n+1)x+1/3]=0
↓これを(3)に代入すると
(n+1)x-1/3≦0≦(n+1)x+1/3
-1/3≦(n+1)x≦1/3
-1/{3(n+1)}≦x≦1/{3(n+1)}
|x|≦1/{3(n+1)}
だから
P(n+1)={|x|≦1/{3(n+1)}}も真だから
全ての自然数n≧2に対して
|x|≦1/(3n)
だから
x=0

x=-1/3.or.x=0.or.x=1/3
だから
3x=-1.or.3x=0.or.3x=1

↓3α=3x+3[α+1/2]だから

3α=3[α+1/2]-1
.or.
3α=3[α+1/2]
.or.
3α=3[α+1/2]+1

∴
3αは整数である

3αが整数ならば
3α=mとなる整数mがある

任意の自然数nに対して
k=[nα+1/3]
とすると
k=[(3αn+1)/3]
↓3α=mだから
k=[(mn+1)/3]

mn+1を3で割った余りをjとすると
mn+1=3k+j
0≦j≦2
-1≦j-1≦1
|j-1|≦1

|α-k/n|
=|m/3-k/n|
=|(mn-3k)/(3n)|
=|j-1|/(3n)
≦1/(3n)

No.12 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/04/30 11:08

「

必要条件として ｜(3^(d+1))α - 3k｜≦1 が出てくる。
この式は、(3^(d+1))α の整数部分を 3 で割った余りが
0 または 2 であることを示している。
」
の部分で
α=1/3
d=0
とすると
(3^(d+1))α=1
だから
｜(3^(d+1))α - 3k｜=|1-3k|≦1
を満たすkはk=0
だから

(3^(d+1))α=1 の整数部分を 3 で割った余りは

1

であるから
「
この式は、(3^(d+1))α の整数部分を 3 で割った余りが
0 または 2 であることを示している
」
は間違いです
なので
間違った回答をわかる必要はありません
---------------------------------
任意の自然数nに対して
|α-k/n|≦1/(3n)となる整数kがあるとする
↓両辺にnをかけると
|nα-k|≦1/3

0≦nα-kの時
nα-k≦1/3
↓両辺にk-1/3を加えると
nα-1/3≦k

nα-k<0の時
k-nα≦1/3
↓両辺にnαを加えると
k≦nα+1/3
kは整数で[nα+1/3]=(nα+1/3以下の最大整数)だから
k≦[nα+1/3]
↓これとnα-1/3≦kから

nα-1/3≦[nα+1/3]…(1)

[α+1/2]=(α+1/2以下の最大整数)
x=α-[α+1/2]
とすると
[α+1/2]≦α+1/2<[α+1/2]+1
-1/2≦α-[α+1/2]<1/2
-1/2≦x<1/2
α=x+[α+1/2]
だからこれを(1)に代入すると
n(x+[α+1/2])-1/3≦[nα+1/3]≦n(x+[α+1/2])+1/3
nx+n[α+1/2]-1/3≦[nα+1/3]≦nx+n[α+1/2]+1/3
nx-1/3≦[nα+1/3]-n[α+1/2]≦nx+1/3
だから
[nα+1/3]-n[α+1/2]≦[nx+1/3]
だから

nx-1/3≦[nx+1/3]…(2)


n=1の時(2)から
x-1/3≦[x+1/3]≦x+1/3
-1/2≦x<1/2だから
-1/2-1/3≦x-1/3≦[x+1/3]≦x+1/3<1/2+1/3
-5/6≦[x+1/3]<5/6
↓[x+1/3]は整数だから
[x+1/3]=0
x≦1/3≦x+2/3
-1/3≦x≦1/3

n=2の時(2)から
2x-1/3≦[2x+1/3]≦2x+1/3
↓-1/3≦x≦1/3だから
-2/3-1/3≦2x-1/3≦[2x+1/3]≦2x+1/3≦2/3+1/3
-1≦[2x+1/3]≦1

[2x+1/3]=-1
または
[2x+1/3]=0
または
[2x+1/3]=1

[2x+1/3]=-1の時
2x-1/3≦-1≦2x+1/3
-1-1/3≦2x≦-1+1/3
-4/3≦2x≦-2/3
-2/3≦x≦-1/3
↓-1/3≦xだから
x=-1/3

[2x+1/3]=1の時
2x-1/3≦1≦2x+1/3
1-1/3≦2x≦1+1/3
2/3≦2x≦4/3
1/3≦x≦2/3
↓x≦1/3だから
x=1/3

[2x+1/3]=0の時
2x-1/3≦0≦2x+1/3
-1/3≦2x≦1/3
-1/6≦x≦1/6
|x|≦1/6
だから
P(n)={|x|≦1/(3n)}
とすると
P(2)={|x|≦1/6}は真
ある自然数n≧2に対してP(n)は真と仮定すると
|x|≦1/(3n)
-1/(3n)≦x≦1/(3n)
(2)のnをn+1に置き換えると
(n+1)x-1/3≦[(n+1)x+1/3]≦(n+1)x+1/3…(3)
↓-1/(3n)≦x≦1/(3n)だから
-(n+1)/(3n)-1/3≦[(n+1)x+1/3]≦(n+1)/(3n)+1/3
-1<-1+(n-1)/(3n)≦[(n+1)x+1/3]≦1-(n-1)/(3n)<1
-1<[(n+1)x+1/3]<1
↓[(n+1)x+1/3]は整数だから
[(n+1)x+1/3]=0
↓これを(3)に代入すると
(n+1)x-1/3≦0≦(n+1)x+1/3
-1/3≦(n+1)x≦1/3
-1/{3(n+1)}≦x≦1/{3(n+1)}
|x|≦1/{3(n+1)}
だから
P(n+1)={|x|≦1/{3(n+1)}}も真だから
全ての自然数n≧2に対して
|x|≦1/(3n)
だから
x=0

x=-1/3.or.x=0.or.x=1/3
だから
3x=-1.or.3x=0.or.3x=1

↓3α=3x+3[α+1/2]だから

3α=3[α+1/2]-1
.or.
3α=3[α+1/2]
.or.
3α=3[α+1/2]+1

∴
3αは整数である

3αが整数ならば
3α=mとなる整数mがある

任意の自然数nに対して
k=[nα+1/3]
とすると
k=[(3αn+1)/3]
↓3α=mだから
k=[(mn+1)/3]

mn+1を3で割った余りをjとすると
mn+1=3k+j
0≦j≦2
-1≦j-1≦1
|j-1|≦1

|α-k/n|
=|m/3-k/n|
=|(mn-3k)/(3n)|
=|j-1|/(3n)
≦1/(3n)